Curso: Maths 1 : calculus

Généralités

Le cours de maths 1 - Calculus est composé d'un cours de 2 heures par semaine et de 2 séances de TD d'1h45 par semaine.

Les thèmes abordés dans ce cours sont:

l'ensemble des nombres réels;
l'ensemble des nombres complexes;
les suites numériques;
l'étude des fonctions;
les fonctions de référence.

Vos enseignants sont:

Joël Cohen (TD MP A3)
Jonathan Crespo (TD MI 1)
Amaury Freslon (TD MI 4)
Frédéric Haglund (TD MP B2)
Akash Hossain (TD MP B1)
Manh-Linh Nguyen (TD STAPS-SPI)
Ophélie Rouby (cours et TD MP A1 et MI 3)
Carmelo Vaccaro (TD MI 2)
Zhixiang Wu (TD MP A2)

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exos wims calculus
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Dans cette section, vous trouverez tous les documents relatifs au cours, les polycopiés des différents chapitres, les feuilles de TD avec indications et sans indication, les énoncés des partiels et examens des années précédentes et de cette année.

Support de la présentation globale du cours.

Questions flashs vues en cours et en TD.

Supports de cours:

support de cours pour le chapitre 1;
support de cours pour le chapitre 2;
support de cours pour le chapitre 3;
support de cours pour le chapitre 4;
support de cours pour le chapitre 5;
support de cours pour le chapitre 6.

Polycopiés complets des chapitres:

chapitre 0 sur la logique et les ensembles (certains éléments de ce chapitre ont été intégrés dans le support du chapitre 1);
chapitre 1 sur l'ensemble des nombres réels (et sans la partie logique et ensembles);
chapitre 2 sur l'ensemble des nombres complexes;
chapitre 3 sur les suites numériques;
chapitre 4 sur les fonctions;
chapitre 5 sur les fonctions de référence;
chapitre 6 sur les injections, les surjections et les bijections.

Feuilles de TD:

TD 1 sans indication, TD 1 avec indications;
TD 2 sans indication, TD 2 avec indications;
TD 3 sans indication, TD 3 avec indications;
TD 4 sans indication, TD 4 avec indications;
TD 5 sans indication, TD 5 avec indications;
TD 6 sans indication, TD 6 avec indications.

Évaluations de cette année:

répartition des notes;
évaluation 1 MP avec barème et correction;
évaluation 1 MI avec barème et correction;
évaluation 2 MP avec barème et correction;
évaluation 2 MI avec barème et correction;
examen de mi-semestre avec barème et correction;
évaluation 3 MP avec barème et correction;
évaluation 3 MI avec barème et correction;
examen de session 1 avec barème et correction;
examen de session 2 avec barème et correction.

Examens de l'année dernière:

examen de mi-semestre;
examen de session 1;
examen de session 2.

Actividades: 0

Wims

Pour approfondir les notions vues en cours et en TD et pour vous préparer au mieux aux épreuves du contrôle continu, vous disposez dans l'espace wims dédié au cours d'exercices à faire en ligne.

Pour y accéder, cliquer sur le lien suivant: https://wims.universite-paris-saclay.fr/wims/?lang=fr puis cliquer sur L1 Sciences 2021-2022, puis sur Calculus.

Vous trouverez dans le fichier joint, toutes les indications nécessaires pour accéder à wims et l'utiliser correctement.

Semaine du 6/09 (après le premier cours): faire les feuilles d'exercices wims Opérations sur les ensembles et Quantificateurs.
Semaine du 13/09 (après le second cours): faire les feuilles d'exercices wims Inégalités et encadrements et Inéquations.
Semaine du 21/09 (après le troisième cours): faire les feuilles d'exercices wims Valeur absolue et Nombres complexes en forme algébrique.
Semaine du 27/09 (après le quatrième cours): faire la feuille d'exercice wims Nombres complexes: module et argument.
Semaine du 4/10 (après le cinquième cours): faire la feuille d'exercices wims Nombres complexes et géométrie.
Semaine du 12/10 (après le sixième cours): faire la feuille d'exercices wims Suites arithmétiques, géométriques, récurrentes.
Semaine du 18/10 (après le septième cours): faire la feuille d'exercices wims Suite (limite, suite récurrente).
Semaine du 08/11 (après le huitième cours): faire les feuilles d'exercices wims Etude de fonctions et représentation graphique et Limites.
Semaine du 22/11 (après le dixième cours): faire la feuille d'exercices wims Continuité.
Semaine du 29/11 (après le onzième cours): faire la feuille d'exercices wims Dérivation.
Semaine du 06/12 (après le dernier cours): faire la feuille d'exercices wims Exponentielle et logarithme;
Semaine du 13/12: faire la feuille d'exercices wims Sinus et cosinus.

Actividades: 0

Cours MP (lundi 10h30-12h30)

Vous trouverez dans cette section l'avancement du cours.

Cours du lundi 6/09.

Les pages 1 à 8 du polycopié de cours ont été traitées.

Construction de l'ensemble des nombres réels à partir de deux sous-ensembles remarquables (chapitre 1, partie I-a).
Notion d'ensemble, notation appartient (chapitre 1, partie I-a).
Réunion de deux ensembles, inclusion (chapitre 1, partie I-a).
Intersection de deux ensembles, ensemble vide (chapitre 1, partie I-a).
Assertions équivalentes (chapitre 1, partie I-a).
Assertion contraire (chapitre 1, partie I-a).
Quantificateurs universel et existentiel, échange de quantificateurs, négation des phrases quantifiées (chapitre 1, partie I-a).
Différence de deux ensembles, complémentaire d'un ensemble (chapitre 1, partie I-a).
Propriétés des sous-ensembles R+ et R- (chapitre 1, partie I-a).
Connecteurs logiques et, ou, négation de phrases utilisant ces connecteurs (chapitre 1, partie I-a).
Connecteur implique, négation d'une phrase utilisant ce connecteur (chapitre 1, partie I-a).
Question flash sur une identité remarquable et rappel des trois identités remarquables.

Cours du lundi 13/09.

Les pages 9 à 15 du polycopié de cours ont été traitées.

Démonstration des trois premières assertions du corollaire et de la dernière assertion. Technique de démonstrations rencontrées: démontrer une implication, démontrer une équivalence à l'aide de deux implications, démonstration par l'absurde (chapitre 1, partie I-a).
Définition des relations "inférieur ou égal" et "inférieur strict" (chapitre 1, partie I-b).
La relation "inférieur ou égal" est réflexive, antisymétrique, transitive et totale. Démonstration de la réflexivité et de l'antisymétrie (chapitre 1, partie I-b).
Proposition sur le lien entre la relation d'ordre et les opérations + et x. Démonstration de l'équivalence (x < y) <=> (zx < zy) pour z un réel strictement positif. Technique de démonstration: démontrer une équivalence avec un raisonnement par équivalences (chapitre 1, partie I-b).
Proposition sur l'addition de deux inégalités et démonstration de cette proposition. Mise en évidence que le raisonnement par équivalence ne fonctionne pas pour cette proposition (chapitre 1, partie I-b).
Définition de majorant, de minorant, de plus grand élément et de plus petit élément d'une partie de R. Définition de partie majorée, minorée et bornée (chapitre 1, partie I-c).
Définition de la valeur absolue d'un nombre réel (chapitre 1, partie I-d).
Proposition avec des propriétés de la valeur absolue. Démonstration de l'équivalence |x| = 0 <=> x = 0 et de l'inégalité triangulaire 1. Technique de démonstration: démontrer une équivalence à l'aide de deux implications (chapitre 1, partie I-d).
Définition de la distance entre deux réel (chapitre 1, partie I-d).
Proposition sur le lien entre la majoration de la distance entre deux réels et l'appartenance à un intervalle (chapitre 1, partie I-d).
Définition de la borne supérieure d'une partie de R et remarque permettant de caractériser la borne supérieure (chapitre 1, partie II-a).
Détermination de la borne supérieure de [0, 1[ (chapitre 1, partie II-a).
Exemple de R (chapitre 1, partie II-a).
Question flash sur le calcul de fractions.

Cours du lundi 20/09.

Les pages 15 à 18 du polycopié du chapitre 1 ont été traitées ainsi que les pages 1 à 4 et le début de la page 5 du polycopié du chapitre 2.

Définition de la borne inférieure (chapitre 1, partie II-a).
Détermination de la borne inférieure de ]0, 1] (chapitre 1, partie II-a).
Proposition d'existence de la borne supérieure dans le cas où une partie admet un plus grand élément (chapitre 1, partie II-a).
Propriété de la borne supérieure (chapitre 1, partie II-a).
Définition de la droite réelle achevée, prolongement de la relation <= et des opérations + et x à cet ensemble, toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure (chapitre 1, partie II-b).
Définitions des intervalles (chapitre 1, partie III).
Proposition caractérisant les intervalles (chapitre 1, partie III).
Théorème de construction de l'ensemble des nombres complexes (chapitre 2, partie I-a).
Notions de partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique et techniques de détermination de la forme algébrique d'un nombre complexe (chapitre 2, partie I-a).
Identification du plan RxR et de l'ensemble des nombres complexes (chapitre 2, partie I-b).
Définition du conjugué d'un nombre complexe, interprétation géométrique de la définition (chapitre 2, partie I-c).
Proposition permettant d'exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe en fonction du conjugué, caractérisation des nombres réels à l'aide du conjugué et caractérisation des imaginaires purs à l'aide du conjugué. Démonstration de cette proposition (chapitre 2, partie I-c).
Proposition sur le conjugué et les opérations sur les nombres complexes (+, x, :). Démonstration de la formule sur le conjugué d'une somme de nombres complexes (chapitre 2, partie I-c).
Évaluation 1.

Cours du lundi 27/09.

Les pages 5 à 11 et la moitié de la page 12 ont été traitées.

Exemple d'utilisation des propriétés sur le conjugué pour décrire un ensemble (chapitre 2, partie I-c).
Proposition sur le signe d'un nombre complexe multiplié par son conjugué. Démonstration de cette proposition (chapitre 2, partie I-d).
Définition du module d'un nombre complexe. Interprétation géométrique du module en terme de distance (chapitre 2, partie I-d).
Proposition sur des propriétés du module: le module d'un nombre complexe est égal à 0 si et seulement si ce nombre complexe est 0; le module d'un nombre complexe est égal au module de son conjugué, inégalités entre la partie réelle d'un nombre complexe, la valeur absolue de cette partie réelle et le module du nombre complexe, inégalités du même type pour la partie imaginaire. Démonstration de cette proposition. Méthode de démonstration d'une équivalence à l'aide de deux implications (chapitre 2, partie I-d).
Proposition sur les propriétés du module en lien avec les opérations sur C. Démonstration du module d'un produit de nombres complexes est égal au produit des modules. Démonstration de l'inégalité triangulaire 1 (chapitre 2, partie I-d).
Définition de l'ensemble des nombres complexes de module 1 (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur la stabilité de l'ensemble des nombres complexes de module 1 par produit et inverse. Formule pour le conjugué d'un nombre complexe de module 1. Interprétation géométrique de cet ensemble (chapitre 2, partie II-a).
Définition de la notation e^(i theta) (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur le lien entre l'ensemble des nombres complexes de module 1 et l'ensemble des nombres de la forme e^(i theta). Démonstration de cette proposition. Méthode de démonstration d'une égalité ensembliste à l'aide de deux inclusions (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur le calcul avec les nombres complexes de la forme e^(i theta). Démonstration de la formule d'addition. Démonstration de l'équivalence e^(i theta) = 0 si et seulement si il existe k entier relatif tel que theta = 0 + 2k pi (chapitre 2, partie II-a).
Formules d'Euler. Démonstration de la formule pour le cosinus (chapitre 2, partie II-a).
Formule de De Moivre. Démonstration de cette formule (chapitre 2, partie II-a).
Exemple de linéarisation et de délinéarisation (chapitre 2, partie II-a).
Définition d'argument d'un nombre complexe. Interprétation géométrique (chapitre 2, partie II-b).
Proposition sur la description de l'ensemble des arguments d'un nombre complexe (chapitre 2, partie II-b).
Méthode pour déterminer un argument d'un nombre complexe en calculant le conjugué du nombre complexe, puis en divisant le nombre complexe par son conjugué afin de reconnaître un nombre de la forme e^(i theta) (chapitre 2, partie II-b).
Question flash sur la résolution d'équations du second degré.

Cours du lundi 4 octobre.

Les pages 12 à 18 du chapitre 2 ont été traitées, la page 1 et la moitié de la page 2 du chapitre 3 ont été traitées.

Définition de la forme trigonométrique d'un nombre complexe (chapitre 2, partie II-c).
Proposition sur les propriétés de calculs pour l'argument d'un nombre complexe (chapitre 2, partie II-c).
Définition de racine carrée d'un nombre complexe (chapitre 2, partie III-a).
Proposition sur l'existence de deux racines carrées pour tout nombre complexe non nul (chapitre 2, partie III-a).
Formules pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique (chapitre 2, partie III-a).
Méthode pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique (chapitre 2, partie III-a).
Proposition sur la résolution des équations du second degré à coefficients complexes. Démonstration de cette proposition. (chapitre 2, partie III-a).
Remarque sur les relations coefficients-racines (chapitre 2, partie III-a).
Définition de racine n-ième d'un nombre complexe (chapitre 2, partie III-b).
Proposition sur la description de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité. Démonstration de cette proposition à l'aide de deux inclusions (chapitre 2, partie III-b).
Proposition sur la forme des racines n-ièmes d'un nombre complexe (chapitre 2, partie III-b).
Définition de suite numérique à valeurs réelles (chapitre 3, partie I-a).
Définition de suite majorée, minorée, bornée (chapitre 3, partie I-b).
Définition de suite croissante, décroissante, monotone (chapitre 3, partie I-c).
Question flash sur la détermination de limites de suites.

Cours du lundi 11 octobre.

Les pages 2 à 7 et la moitié de la page 8 ont été traitées.

Définition de suite stationnaire (chapitre 3, partie I-c).
Définition de suite convergeant vers un réel (chapitre 3, partie II-a).
Utilisation de la définition pour montrer que la suite (1/n) converge vers 0 (chapitre 3, partie II-a).
Définition de suite convergente et divergente (chapitre 3, partie II-a).
Proposition sur l'unicité de la limite réelle. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-a).
Proposition sur le lien entre suite convergente et suite bornée. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-a).
Utilisation de la contraposée pour démontrer la divergence d'une suite (chapitre 3, partie II-a).
Proposition: le produit d'une suite bornée par une suite convergeant vers 0 converge vers 0, si une suite suite tend vers un réel l alors sa valeur absolue tend vers la valeur absolue de l, équivalence entre une suite tendant vers 0 et la valeur absolue de cette suite tendant vers 0. Démonstration de la première assertion de la proposition (chapitre 3, partie II-a).
Proposition de comparaison: si il existe un rang à partir duquel la valeur absolue d'une suite est majorée par une suite tendant vers 0 alors la suite de départ tend vers 0 (chapitre 3, partie II-a).
Définition de limite infinie (chapitre 3, partie II-b).
Exemple d'utilisation de la définition pour la suite (q^n) avec q > 1 (chapitre 3, partie II-b).
Proposition sur l'unicité de la limite d'une suite (chapitre 3, partie II-b).
Évaluation 2.

Cours du lundi 18 octobre.

Les pages 8 à 17 du support de cours ont été traitées.

Proposition sur la limite d'une somme de suites, la limite du produit d'une suite par un nombre réel et la limite d'un produit de suites. Démonstration de la proposition sur la somme (chapitre 3, partie II-c).
Proposition sur la limite de l'inverse d'une suite tendant vers un nombre réel non nul. (chapitre 3, partie II-c)
Proposition sur la limite de l'inverse d'une suite tendant vers l'infini (chapitre 3, partie II-c).
Proposition sur la limite de l'inverse d'une suite tendant vers 0 et de signe constant à partir d'un certain rang (chapitre 3, partie II-c).
Pour déterminer la limite d'un quotient de suites, il faut passer par un produit et l'inverse (chapitre 3, partie II-c).
Proposition sur la comparaison de la limite de deux suites lorsqu'une comparaison entre les termes généraux des suites existe. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-d).
Théorème des gendarmes (chapitre 3, partie II-d).
Version infinie du théorème des gendarmes. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-d).
Théorème de convergence monotone (existence de limites) (chapitre 3, partie II-e).
Définition de suite à valeurs complexes (chapitre 3, partie III).
Suites réelles associées à une suite complexe (chapitre 3, partie III).
Définition de suite bornée pour une suite à valeurs complexes (chapitre 3, partie III).
Proposition caractérisant une suite à valeurs complexes bornée (chapitre 3, partie III).
Remarque sur la différence entre suites réelles et suites complexes (chapitre 3, partie III).
Définition de suite arithmétique et géométrique (cas complexe) (chapitre 3, partie IV-a).
Proposition sur la convergence ou la divergence de la suite (q^n) avec q complexe (chapitre 3, partie IV-a).
Définition de suite arithmético-géométrique (chapitre 3, partie IV-a).
Remarque sur l'étude des suites arithmético-géométriques (chapitre 3, partie IV-a).
Définition de suite récurrente linéaire d'ordre deux (chapitre 3, partie IV-b).
Proposition donnant le terme général d'une suite récurrente d'ordre deux (chapitre 3, partie IV-b).
Caractérisation séquentielle de la borne supérieure (chapitre 3, partie V).
Question flash sur la détermination d'ensembles de définition de fonctions.

Cours du lundi 8 novembre:

Les pages 1 à 12 du polycopié de cours ont été traitées.

Définition de fonction, d'image, d'antécédent, d'ensemble de définition et notation d'une fonction (chapitre 4, partie I-a).
Définition du graphe d'une fonction (chapitre 4, partie I-a).
Définition de la restriction d'une fonction à une partie de R (chapitre 4, partie I-b).
Définition de prolongement d'une fonction à une partie de R (chapitre 4, partie I-b).
Définition d'image directe d'une partie de R par une fonction, d'image réciproque d'une partie de R par une fonction et de l'ensemble d'arrivée d'une fonction (chapitre 4, partie I-c).
Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de définition, même ensemble d'arrivée et même graphe (chapitre 4, partie I-c).
Définition sur les opérations sur les fonctions: somme, produit, quotient, composée (chapitre 4, partie I-d).
Définition de la relation inférieur ou égal sur les fonctions. Interprétation graphique (chapitre 4, partie I-d).
Définition de fonction majorée, minorée, bornée. Interprétation graphique (chapitre 4, partie I-e).
Définition de fonction croissante, strictement croissante, décroissante, strictement décroissante, monotone, strictement monotone (chapitre 4, partie I-f).
Définition de fonction paire et de fonction impaire. Interprétation graphique (chapitre 4, partie I-g).
Définition de fonction périodique et de la période d'une fonction (chapitre 4, partie I-g).
Définition de limite réelle en un point. Utilisation de la définition pour montrer que la limite de la fonction cube en 0 est égale à 0 (chapitre 4, partie II-a-i).
Définition de limite infini en un point. Utilisation de la définition pour montrer que l'inverse de la fonction carré tend vers l'infini quand x tend vers 0 (chapitre 4, partie II-a-i).
Question flash sur le calcul de limites.

Cours du lundi 15 novembre.

Les pages 12 à 24 du polycopié de cours ont été traitées.

Définitions de limite d'une fonction en l'infini. Utilisation de ces définitions pour montrer que la limite de la fonction exponentielle en + l'infini est + l'infini et pour déterminer les limites en + l'infini et - l'infini de la fonction carré (chapitre 4, partie II-a-ii).
Proposition sur l'unicité de la limite. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie II-b).
Proposition sur le caractère borné au voisinage d'un point si la limite en ce point est réelle. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie II-b).
Proposition sur les opérations sur les limites: somme, multiplication par un réel, produit, inverse (chapitre 4, partie II-c).
Proposition sur la composée de limites (chapitre 4, partie II-c).
Proposition sur la comparaison de limites (chapitre 4, partie II-c).
Proposition: caractérisation séquentielle de la limite. Démonstration de cette proposition à l'aide de deux implications et d'une contraposée (chapitre 4, partie II-d).
Définition de limites directionnelles (chapitre 4, partie II-e).
Proposition sur l'existence de limite en lien avec les limites directionnelles (chapitre 4, partie II-e).
Définitions d'asymptote verticale, d'asymptote horizontale et d'asymptote oblique (chapitre 4, partie II-f).
Définition de fonction continue en un point et de fonction continue sur un intervalle (chapitre 4, partie III-a-i).
Proposition: une fonction continue en un point et qui est non nulle en ce point est non nulle sur un voisinage de ce point. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie III-a-ii).
Proposition sur les opérations sur les fonctions continues: somme, produit par un réel, produit, inverse (chapitre 4, partie II-a-ii).
Question flash sur la détermination de la continuité de fonctions.

Cours du lundi 22 novembre.

Les pages 24 à 33 du polycopié de cours ont été traitées.

Proposition sur la composée de fonctions continues (chapitre 4, partie III-a-ii).
Définition du prolongement par continuité d'une fonction (chapitre 4, partie III-a-iii).
Proposition: caractérisation séquentielle de la continuité (chapitre 4, partie III-a-iv).
Théorème des valeurs intermédiaires. Démonstration de ce théorème avec les outils développés cette année (chapitre 4, partie III-b).
Corollaires du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 4, partie III-b).
Définition de fonction dérivable en un point et de nombre dérivé. Interprétation géométrique du taux d'accroissement et du nombre dérivé (chapitre 4, partie IV-a).
Proposition sur l'équivalence entre dérivabilité en un point et écriture de la fonction en fonction de l'équation de sa tangente au voisinage du point de dérivabilité (chapitre 4, partie IV-a).
Équation de la tangente à la courbe d'une fonction en un point (chapitre 4, partie IV-a).
Proposition: dérivabilité en un point implique continuité en un point. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie IV-a).
Remarque sur la réciproque de cette proposition (chapitre 4, partie IV-a).
Définition de dérivabilité sur un intervalle et de la dérivée (chapitre 4, partie IV-a).
Tableau des dérivées usuelles (chapitre 4, partie IV-a).
Évaluation 3.

Cours du lundi 29 novembre:

Les pages 34 à 44 du polycopié de cours ont été traitées.

Exemple d'utilisation d'un taux d'accroissement pour justifier l'existence d'un prolongement par continuité (chapitre 4, partie IV-a).
Définition de fonction k-fois dérivable (chapitre 4, partie IV-b).
Définition de fonction de classe C k et de classe C infini (chapitre 4, partie IV-b).
Lien entre les différentes classes de fonctions (chapitre 4, partie IV-b).
Opérations sur les fonctions dérivables une fois: combinaison linéaire, produit, inverse, quotient, composée (chapitre 4, partie IV-c).
Formule de Leibniz (chapitre 4, partie IV-c).
Définition de maximum local, de minimum local et d'extremum local d'une fonction (chapitre 4, partie IV-d-i).
Proposition: si f admet un extremum local en un point qui n'est au bord de son ensemble de définition, alors la dérivée en ce point est nulle. Démonstration de cette proposition. Contre-exemple pour la réciproque. Interprétation géométrique de la proposition (chapitre 4, partie IV-d-i).
Théorème de Rolle. Démonstration de ce théorème (chapitre 4, partie IV-d-ii).
Théorème des accroissements finis. Interprétation géométrique de ce résultat (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Inégalités des accroissements finis (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Proposition sur le lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée. Démonstration de cette proposition à l'aide du théorème des accroissements finis (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Exemple d'étude d'une fonction (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Plan d'étude d'une fonction (chapitre 4, partie IV-e).
Question flash sur le calcul de limites faisant intervenir la fonction exponentielle.

Cours du lundi 6 décembre.

Les pages 1 à 18 du polycopié du chapitre 5 ont été traitées, la partie I du chapitre 6 a été traitée.

Fonction valeur absolue: définition, continuité, dérivabilité, graphe (chapitre 5, partie I-a).
Fonction racine carrée: définition, continuité, dérivabilité, graphe (chapitre 5, partie I-b).
Proposition sur le lien entre la fonction racine carrée et la fonction valeur absolue (chapitre 5, partie I-b).
Définition de fonction polynomiale et du degré d'une telle fonction (chapitre 5, partie II-a).
Exemples des fonctions polynômes du second degré. Rappel sur le sens de la parabole en fonction du signe du coefficient devant x² et rappel sur la détermination du sommet de la parabole (chapitre 5, partie II-a).
Exemples des fonctions affines. Rappel sur les variations en fonction du signe du coefficient directeur et rappel sur la détermination graphique de l'expression des fonctions affines (chapitre 5, partie II-a).
Exemples des fonctions constantes et de la fonction nulle (chapitre 5, partie II-a).
Définition de fonction rationnelle, du degré, des racines et des pôles d'une telle fonction (chapitre 5, partie II-b).
Exemple de la fonction inverse (chapitre 5, partie II-b).
Définition de fonction homographique (chapitre 5, partie II-b).
Remarque sur l'étude des fonctions homographiques (chapitre 5, partie II-b).
Définition de la fonction logarithme népérien (chapitre 5, partie III-a).
Proposition sur les propriétés de la fonction logarithme, graphe de cette fonction (chapitre 5, partie III-a).
Remarque sur la fonction logarithme en base quelconque (chapitre 5, partie III-a).
Définition de la fonction exponentielle (chapitre 5, partie III-b).
Proposition sur les propriétés de la fonction exponentielle, graphe de cette fonction (chapitre 5, partie III-b).
Remarque sur la fonction exponentielle en base quelconque (chapitre 5, partie III-b).
Définition de la puissance d'un nombre réel et définition de la fonction puissance pour a un nombre réel (chapitre 5, partie IV).
Proposition sur les propriétés des puissances. Démonstration de la première propriété (chapitre 5n partie IV).
Proposition sur les propriétés de la fonction puissance. Démonstration de la dérivabilité d'une telle fonction et de l'expression de la dérivée (chapitre 5, partie IV).
Proposition sur les croissances comparées (chapitre 5, partie IV).
Définition des fonctions cosinus, sinus et tangente (chapitre 5, partie V).
Proposition sur les propriétés de ces fonctions (chapitre 5, partie V).
Valeurs remarquables (chapitre 5, partie V).
Graphe de ces fonctions (chapitre 5, partie V).
Formulaire de trigonométrie (chapitre 5, partie V).
Définition des fonctions hyperboliques (chapitre 5, partie VI).
Proposition sur les propriétés de ces fonctions. Graphes (chapitre 5, partie VI).
Définition de la fonction indicatrice d'une partie de R (chapitre 5, partie VII).
Proposition sur ces fonctions (chapitre 5, partie VII).
Définition de fonction injective (chapitre 6, partie I-a).
Remarque sur comment montrer qu'une fonction est injective (chapitre 6, partie I-a).
Définition de fonction surjective (chapitre 6, partie I-b).
Remarque sur la surjectivité et l'ensemble d'arrivée de la fonction (chapitre 6, partie I-b).
Définition de fonction bijective (chapitre 6, partie I-c).
Schémas illustrant ces différentes notions (chapitre 6, partie I-c).
Proposition sur la composition des fonctions injectives, surjectives et bijectives. Démonstration du résultat sur la composée de deux injections (chapitre 6, partie I-d).
La partie II du chapitre 6 sur la fonction exponentielle complexe n'a pas été traitée en cours.
Question flash sur la détermination d'un majorant, d'un minorant, du maximum, du minimum, de la borne supérieure et de la borne inférieure de trois ensembles lorsque ces notions ont un sens.

Actividades: 0

Cours MI (mercredi 10h30-12h30)

Vous trouverez dans cette section l'avancement du cours.

Cours du mercredi 8/09.

Les pages 1 à 8 et le début de la page 9 du polycopié de cours ont été traitées.

Construction de l'ensemble des nombres réels à partir de deux sous-ensembles remarquables (chapitre 1, partie I-a).
Notion d'ensemble, notation appartient (chapitre 1, partie I-a).
Réunion de deux ensembles, inclusion (chapitre 1, partie I-a).
Intersection de deux ensembles, ensemble vide (chapitre 1, partie I-a).
Assertions équivalentes (chapitre 1, partie I-a).
Assertion contraire (chapitre 1, partie I-a).
Quantificateurs universel et existentiel, échange de quantificateurs, négation des phrases quantifiées (chapitre 1, partie I-a).
Différence de deux ensembles, complémentaire d'un ensemble (chapitre 1, partie I-a).
Propriétés des sous-ensembles R+ et R- (chapitre 1, partie I-a).
Connecteurs logiques et, ou, négation de phrases utilisant ces connecteurs (chapitre 1, partie I-a).
Connecteur implique, négation d'une phrase utilisant ce connecteur (chapitre 1, partie I-a).
Démonstration de la première assertion du corollaire (chapitre 1, partie I-a).
Question flash sur une identité remarquable et rappel des trois identités remarquables.

Cours du mercredi 15/09.

Les pages 9 à 15 et le début de la page 16 du polycopié de cours ont été traitées.

Démonstration des deuxième et troisième assertions du corollaire et de la dernière assertion. Technique de démonstrations rencontrées: démontrer une implication, démontrer une équivalence à l'aide de deux implications, démonstration par l'absurde (chapitre 1, partie I-a).
Définition des relations "inférieur ou égal" et "inférieur strict" (chapitre 1, partie I-b).
La relation "inférieur ou égal" est réflexive, antisymétrique, transitive et totale. Démonstration de la réflexivité et de l'antisymétrie (chapitre 1, partie I-b).
Proposition sur le lien entre la relation d'ordre et les opérations + et x. Démonstration de l'équivalence (x < y) <=> (zx < zy) pour z un réel strictement positif. Technique de démonstration: démontrer une équivalence avec un raisonnement par équivalences (chapitre 1, partie I-b).
Proposition sur l'addition de deux inégalités et démonstration de cette proposition. Mise en évidence que le raisonnement par équivalence ne fonctionne pas pour cette proposition (chapitre 1, partie I-b).
Définition de majorant, de minorant, de plus grand élément et de plus petit élément d'une partie de R. Définition de partie majorée, minorée et bornée (chapitre 1, partie I-c).
Définition de la valeur absolue d'un nombre réel (chapitre 1, partie I-d).
Proposition avec des propriétés de la valeur absolue. Démonstration de l'équivalence |x| = 0 <=> x = 0 et de l'inégalité triangulaire 1. Technique de démonstration: démontrer une équivalence à l'aide de deux implications (chapitre 1, partie I-d).
Définition de la distance entre deux réel (chapitre 1, partie I-d).
Proposition sur le lien entre la majoration de la distance entre deux réels et l'appartenance à un intervalle (chapitre 1, partie I-d).
Définition de la borne supérieure d'une partie de R et remarque permettant de caractériser la borne supérieure (chapitre 1, partie II-a).
Détermination de la borne supérieure de [0, 1[ (chapitre 1, partie II-a).
Exemple de R (chapitre 1, partie II-a).
Définition de la borne inférieure (chapitre 1, partie II-a).
Détermination de la borne inférieure de ]0, 1] (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur le lien entre maximum et borne supérieure (chapitre 2, partie II-a).
Question flash sur le calcul de fractions.

Cours du mercredi 22/09.

Les pages 16 à 18 du polycopié du chapitre 1 ont été traitées ainsi que les pages 1 à 4 et le début de la page 5 du polycopié du chapitre 2.

Propriété de la borne supérieure (chapitre 1, partie II-a).
Définition de la droite réelle achevée, prolongement de la relation <= et des opérations + et x à cet ensemble, toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure (chapitre 1, partie II-b).
Définitions des intervalles (chapitre 1, partie III).
Proposition caractérisant les intervalles (chapitre 1, partie III).
Théorème de construction de l'ensemble des nombres complexes (chapitre 2, partie I-a).
Notions de partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique et techniques de détermination de la forme algébrique d'un nombre complexe (chapitre 2, partie I-a).
Identification du plan RxR et de l'ensemble des nombres complexes (chapitre 2, partie I-b).
Définition du conjugué d'un nombre complexe, interprétation géométrique de la définition (chapitre 2, partie I-c).
Proposition permettant d'exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe en fonction du conjugué, caractérisation des nombres réels à l'aide du conjugué et caractérisation des imaginaires purs à l'aide du conjugué. Démonstration de cette proposition (chapitre 2, partie I-c).
Proposition sur le conjugué et les opérations sur les nombres complexes (+, x, :). Démonstration de la formule sur le conjugué d'une somme de nombres complexes (chapitre 2, partie I-c).
Évaluation 1.

Cours du mercredi 29 septembre.

Les pages 5 à 12 ont été traitées.

Proposition sur le signe d'un nombre complexe multiplié par son conjugué. Démonstration de cette proposition (chapitre 2, partie I-d).
Définition du module d'un nombre complexe. Interprétation géométrique du module en terme de distance (chapitre 2, partie I-d).
Proposition sur des propriétés du module: le module d'un nombre complexe est égal à 0 si et seulement si ce nombre complexe est 0; le module d'un nombre complexe est égal au module de son conjugué, inégalités entre la partie réelle d'un nombre complexe, la valeur absolue de cette partie réelle et le module du nombre complexe, inégalités du même type pour la partie imaginaire. Démonstration de cette proposition. Méthode de démonstration d'une équivalence à l'aide de deux implications (chapitre 2, partie I-d).
Proposition sur les propriétés du module en lien avec les opérations sur C. Démonstration du module d'un produit de nombres complexes est égal au produit des modules. Démonstration de l'inégalité triangulaire 1 (chapitre 2, partie I-d).
Définition de l'ensemble des nombres complexes de module 1 (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur la stabilité de l'ensemble des nombres complexes de module 1 par produit et inverse. Formule pour le conjugué d'un nombre complexe de module 1. Interprétation géométrique de cet ensemble (chapitre 2, partie II-a).
Définition de la notation e^(i theta) (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur le lien entre l'ensemble des nombres complexes de module 1 et l'ensemble des nombres de la forme e^(i theta). Démonstration de cette proposition. Méthode de démonstration d'une égalité ensembliste à l'aide de deux inclusions (chapitre 2, partie II-a).
Proposition sur le calcul avec les nombres complexes de la forme e^(i theta). Démonstration de la formule d'addition. Démonstration de l'équivalence e^(i theta) = 0 si et seulement si il existe k entier relatif tel que theta = 0 + 2k pi (chapitre 2, partie II-a).
Formules d'Euler. Démonstration de la formule pour le cosinus (chapitre 2, partie II-a).
Formule de De Moivre. Démonstration de cette formule (chapitre 2, partie II-a).
Exemple de linéarisation et de délinéarisation (chapitre 2, partie II-a).
Définition d'argument d'un nombre complexe. Interprétation géométrique (chapitre 2, partie II-b).
Proposition sur la description de l'ensemble des arguments d'un nombre complexe (chapitre 2, partie II-b).
Méthode pour déterminer un argument d'un nombre complexe en calculant le conjugué du nombre complexe, puis en divisant le nombre complexe par son conjugué afin de reconnaître un nombre de la forme e^(i theta) (chapitre 2, partie II-b).
Définition de la forme trigonométrique d'un nombre complexe (chapitre 2, début de la partie II-c).
Question flash sur la résolution d'équations du second degré.

Cours du mercredi 6 octobre.

Les pages 13 à 18 du chapitre 2 ont été traitées, la page 1 et la moitié de la page 2 du chapitre 3 ont été traitées.

Proposition sur les propriétés de calculs pour l'argument d'un nombre complexe (chapitre 2, partie II-c).
Définition de racine carrée d'un nombre complexe (chapitre 2, partie III-a).
Proposition sur l'existence de deux racines carrées pour tout nombre complexe non nul (chapitre 2, partie III-a).
Formules pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique (chapitre 2, partie III-a).
Méthode pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique (chapitre 2, partie III-a).
Proposition sur la résolution des équations du second degré à coefficients complexes. Démonstration de cette proposition. (chapitre 2, partie III-a).
Remarque sur les relations coefficients-racines (chapitre 2, partie III-a).
Définition de racine n-ième d'un nombre complexe (chapitre 2, partie III-b).
Proposition sur la description de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité. Démonstration de cette proposition à l'aide de deux inclusions (chapitre 2, partie III-b).
Proposition sur la forme des racines n-ièmes d'un nombre complexe (chapitre 2, partie III-b).
Définition de suite numérique à valeurs réelles (chapitre 3, partie I-a).
Définition de suite majorée, minorée, bornée (chapitre 3, partie I-b).
Définition de suite croissante, décroissante, monotone (chapitre 3, partie I-c).
Question flash sur la détermination de limites de suites.

Cours du mercredi 13 octobre.

Les pages 2 à 7 et la moitié de la page 8 ont été traitées.

Définition de suite stationnaire (chapitre 3, partie I-c).
Définition de suite convergeant vers un réel (chapitre 3, partie II-a).
Utilisation de la définition pour montrer que la suite (1/n) converge vers 0 (chapitre 3, partie II-a).
Définition de suite convergente et divergente (chapitre 3, partie II-a).
Proposition sur l'unicité de la limite réelle. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-a).
Proposition sur le lien entre suite convergente et suite bornée. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-a).
Utilisation de la contraposée pour démontrer la divergence d'une suite (chapitre 3, partie II-a).
Proposition: le produit d'une suite bornée par une suite convergeant vers 0 converge vers 0, si une suite suite tend vers un réel l alors sa valeur absolue tend vers la valeur absolue de l, équivalence entre une suite tendant vers 0 et la valeur absolue de cette suite tendant vers 0. Démonstration de la première assertion de la proposition (chapitre 3, partie II-a).
Proposition de comparaison: si il existe un rang à partir duquel la valeur absolue d'une suite est majorée par une suite tendant vers 0 alors la suite de départ tend vers 0 (chapitre 3, partie II-a).
Définition de limite infinie (chapitre 3, partie II-b).
Exemple d'utilisation de la définition pour la suite (q^n) avec q > 1 (chapitre 3, partie II-b).
Proposition sur l'unicité de la limite d'une suite (chapitre 3, partie II-b).
Évaluation 2.

Cours du mercredi 20 octobre.

Les pages 8 à 17 du support de cours ont été traitées.

Proposition sur la limite d'une somme de suites, la limite du produit d'une suite par un nombre réel et la limite d'un produit de suites. Démonstration de la proposition sur la somme (chapitre 3, partie II-c).
Proposition sur la limite de l'inverse d'une suite tendant vers un nombre réel non nul. (chapitre 3, partie II-c)
Proposition sur la limite de l'inverse d'une suite tendant vers l'infini (chapitre 3, partie II-c).
Proposition sur la limite de l'inverse d'une suite tendant vers 0 et de signe constant à partir d'un certain rang (chapitre 3, partie II-c).
Pour déterminer la limite d'un quotient de suites, il faut passer par un produit et l'inverse (chapitre 3, partie II-c).
Proposition sur la comparaison de la limite de deux suites lorsqu'une comparaison entre les termes généraux des suites existe. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-d).
Théorème des gendarmes (chapitre 3, partie II-d).
Version infinie du théorème des gendarmes. Démonstration de cette proposition (chapitre 3, partie II-d).
Théorème de convergence monotone (existence de limites) (chapitre 3, partie II-e).
Définition de suite à valeurs complexes (chapitre 3, partie III).
Suites réelles associées à une suite complexe (chapitre 3, partie III).
Définition de suite bornée pour une suite à valeurs complexes (chapitre 3, partie III).
Proposition caractérisant une suite à valeurs complexes bornée (chapitre 3, partie III).
Remarque sur la différence entre suites réelles et suites complexes (chapitre 3, partie III).
Définition de suite arithmétique et géométrique (cas complexe) (chapitre 3, partie IV-a).
Proposition sur la convergence ou la divergence de la suite (q^n) avec q complexe (chapitre 3, partie IV-a).
Définition de suite arithmético-géométrique (chapitre 3, partie IV-a).
Remarque sur l'étude des suites arithmético-géométriques (chapitre 3, partie IV-a).
Définition de suite récurrente linéaire d'ordre deux (chapitre 3, partie IV-b).
Proposition donnant le terme général d'une suite récurrente d'ordre deux (chapitre 3, partie IV-b).
Caractérisation séquentielle de la borne supérieure (chapitre 3, partie V).
Question flash sur la détermination d'ensembles de définition de fonctions.

Cours du mercredi 10 novembre.

Les pages 1 à 12 du polycopié de cours ont été traitées.

Définition de fonction, d'image, d'antécédent, d'ensemble de définition et notation d'une fonction (chapitre 4, partie I-a).
Définition du graphe d'une fonction (chapitre 4, partie I-a).
Définition de la restriction d'une fonction à une partie de R (chapitre 4, partie I-b).
Définition de prolongement d'une fonction à une partie de R (chapitre 4, partie I-b).
Définition d'image directe d'une partie de R par une fonction, d'image réciproque d'une partie de R par une fonction et de l'ensemble d'arrivée d'une fonction (chapitre 4, partie I-c).
Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de définition, même ensemble d'arrivée et même graphe (chapitre 4, partie I-c).
Définition sur les opérations sur les fonctions: somme, produit, quotient, composée (chapitre 4, partie I-d).
Définition de la relation inférieur ou égal sur les fonctions. Interprétation graphique (chapitre 4, partie I-d).
Définition de fonction majorée, minorée, bornée. Interprétation graphique (chapitre 4, partie I-e).
Définition de fonction croissante, strictement croissante, décroissante, strictement décroissante, monotone, strictement monotone (chapitre 4, partie I-f).
Définition de fonction paire et de fonction impaire. Interprétation graphique (chapitre 4, partie I-g).
Définition de fonction périodique et de la période d'une fonction (chapitre 4, partie I-g).
Définition de limite réelle en un point. Utilisation de la définition pour montrer que la limite de la fonction cube en 0 est égale à 0 (chapitre 4, partie II-a-i).
Définition de limite infini en un point. Utilisation de la définition pour montrer que l'inverse de la fonction carré tend vers l'infini quand x tend vers 0 (chapitre 4, partie II-a-i).
Question flash sur le calcul de limites.

Cours du mercredi 17 novembre.

Les pages 12 à 23 du polycopié de cours ont été traitées.

Définitions de limite d'une fonction en l'infini. Utilisation de ces définitions pour montrer que la limite de la fonction exponentielle en + l'infini est + l'infini et pour déterminer les limites en + l'infini et - l'infini de la fonction carré (chapitre 4, partie II-a-ii).
Proposition sur l'unicité de la limite. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie II-b).
Proposition sur le caractère borné au voisinage d'un point si la limite en ce point est réelle. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie II-b).
Proposition sur les opérations sur les limites: somme, multiplication par un réel, produit, inverse (chapitre 4, partie II-c).
Proposition sur la composée de limites (chapitre 4, partie II-c).
Proposition sur la comparaison de limites (chapitre 4, partie II-c).
Proposition: caractérisation séquentielle de la limite. Démonstration de cette proposition à l'aide de deux implications et d'une contraposée (chapitre 4, partie II-d).
Définition de limites directionnelles (chapitre 4, partie II-e).
Proposition sur l'existence de limite en lien avec les limites directionnelles (chapitre 4, partie II-e).
Définitions d'asymptote verticale, d'asymptote horizontale et d'asymptote oblique (chapitre 4, partie II-f).
Définition de fonction continue en un point et de fonction continue sur un intervalle (chapitre 4, partie III-a-i).
Proposition: une fonction continue en un point et qui est non nulle en ce point est non nulle sur un voisinage de ce point. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie III-a-ii).
Question flash sur la détermination de la continuité de fonctions.

Cours du mercredi 24 novembre.

Les pages 24 à 33 du polycopié de cours ont été traitées.

Proposition sur la composée de fonctions continues (chapitre 4, partie III-a-ii).
Définition du prolongement par continuité d'une fonction (chapitre 4, partie III-a-iii).
Proposition: caractérisation séquentielle de la continuité (chapitre 4, partie III-a-iv).
Théorème des valeurs intermédiaires. Démonstration de ce théorème avec les outils développés cette année (chapitre 4, partie III-b).
Corollaires du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 4, partie III-b).
Définition de fonction dérivable en un point et de nombre dérivé. Interprétation géométrique du taux d'accroissement et du nombre dérivé (chapitre 4, partie IV-a).
Proposition sur l'équivalence entre dérivabilité en un point et écriture de la fonction en fonction de l'équation de sa tangente au voisinage du point de dérivabilité (chapitre 4, partie IV-a).
Équation de la tangente à la courbe d'une fonction en un point (chapitre 4, partie IV-a).
Proposition: dérivabilité en un point implique continuité en un point. Démonstration de cette proposition (chapitre 4, partie IV-a).
Remarque sur la réciproque de cette proposition (chapitre 4, partie IV-a).
Définition de dérivabilité sur un intervalle et de la dérivée (chapitre 4, partie IV-a).
Tableau des dérivées usuelles (chapitre 4, partie IV-a).
Exemple d'utilisation d'un taux d'accroissement pour déterminer une limite (chapitre 4, partie IV-a).
Évaluation 3.

Cours du mercredi 1 décembre.

Les pages 34 à 44 du polycopié de cours ont été traitées.

Définition de fonction k-fois dérivable (chapitre 4, partie IV-b).
Définition de fonction de classe C k et de classe C infini (chapitre 4, partie IV-b).
Lien entre les différentes classes de fonctions (chapitre 4, partie IV-b).
Opérations sur les fonctions dérivables une fois: combinaison linéaire, produit, inverse, quotient, composée (chapitre 4, partie IV-c).
Formule de Leibniz (chapitre 4, partie IV-c).
Définition de maximum local, de minimum local et d'extremum local d'une fonction (chapitre 4, partie IV-d-i).
Proposition: si f admet un extremum local en un point qui n'est au bord de son ensemble de définition, alors la dérivée en ce point est nulle. Démonstration de cette proposition. Contre-exemple pour la réciproque. Interprétation géométrique de la proposition (chapitre 4, partie IV-d-i).
Théorème de Rolle. Démonstration de ce théorème (chapitre 4, partie IV-d-ii).
Théorème des accroissements finis. Interprétation géométrique de ce résultat (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Inégalités des accroissements finis (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Proposition sur le lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée. Démonstration de cette proposition à l'aide du théorème des accroissements finis (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Exemple d'étude d'une fonction (chapitre 4, partie IV-d-iii).
Plan d'étude d'une fonction (chapitre 4, partie IV-e).
Question flash sur le calcul de limites faisant intervenir la fonction exponentielle.

Cours du mercredi 8 décembre.

Les pages 1 à 18 du polycopié du chapitre 5 ont été traitées, la partie I du chapitre 6 a été traitée.

Fonction valeur absolue: définition, continuité, dérivabilité, graphe (chapitre 5, partie I-a).
Fonction racine carrée: définition, continuité, dérivabilité, graphe (chapitre 5, partie I-b).
Proposition sur le lien entre la fonction racine carrée et la fonction valeur absolue (chapitre 5, partie I-b).
Définition de fonction polynomiale et du degré d'une telle fonction (chapitre 5, partie II-a).
Exemples des fonctions polynômes du second degré. Rappel sur le sens de la parabole en fonction du signe du coefficient devant x² et rappel sur la détermination du sommet de la parabole (chapitre 5, partie II-a).
Exemples des fonctions affines. Rappel sur les variations en fonction du signe du coefficient directeur et rappel sur la détermination graphique de l'expression des fonctions affines (chapitre 5, partie II-a).
Exemples des fonctions constantes et de la fonction nulle (chapitre 5, partie II-a).
Définition de fonction rationnelle, du degré, des racines et des pôles d'une telle fonction (chapitre 5, partie II-b).
Exemple de la fonction inverse (chapitre 5, partie II-b).
Définition de fonction homographique (chapitre 5, partie II-b).
Remarque sur l'étude des fonctions homographiques (chapitre 5, partie II-b).
Définition de la fonction logarithme népérien (chapitre 5, partie III-a).
Proposition sur les propriétés de la fonction logarithme, graphe de cette fonction (chapitre 5, partie III-a).
Remarque sur la fonction logarithme en base quelconque (chapitre 5, partie III-a).
Définition de la fonction exponentielle (chapitre 5, partie III-b).
Proposition sur les propriétés de la fonction exponentielle, graphe de cette fonction (chapitre 5, partie III-b).
Remarque sur la fonction exponentielle en base quelconque (chapitre 5, partie III-b).
Définition de la puissance d'un nombre réel et définition de la fonction puissance pour a un nombre réel (chapitre 5, partie IV).
Proposition sur les propriétés des puissances. Démonstration de la première propriété (chapitre 5n partie IV).
Proposition sur les propriétés de la fonction puissance. Démonstration de la dérivabilité d'une telle fonction et de l'expression de la dérivée (chapitre 5, partie IV).
Proposition sur les croissances comparées (chapitre 5, partie IV).
Définition des fonctions cosinus, sinus et tangente (chapitre 5, partie V).
Proposition sur les propriétés de ces fonctions (chapitre 5, partie V).
Valeurs remarquables (chapitre 5, partie V).
Graphe de ces fonctions (chapitre 5, partie V).
Formulaire de trigonométrie (chapitre 5, partie V).
Définition des fonctions hyperboliques (chapitre 5, partie VI).
Proposition sur les propriétés de ces fonctions. Graphes (chapitre 5, partie VI).
Définition de la fonction indicatrice d'une partie de R (chapitre 5, partie VII).
Proposition sur ces fonctions. Démonstration de l'une des assertions. (chapitre 5, partie VII).
Définition de fonction injective (chapitre 6, partie I-a).
Remarque sur comment montrer qu'une fonction est injective (chapitre 6, partie I-a).
Définition de fonction surjective (chapitre 6, partie I-b).
Remarque sur la surjectivité et l'ensemble d'arrivée de la fonction (chapitre 6, partie I-b).
Définition de fonction bijective (chapitre 6, partie I-c).
Schémas illustrant ces différentes notions (chapitre 6, partie I-c).
Proposition sur la composition des fonctions injectives, surjectives et bijectives. Démonstration du résultat sur la composée de deux injections (chapitre 6, partie I-d).
La partie II du chapitre 6 sur la fonction exponentielle complexe n'a pas été traitée en cours.
Question flash sur la détermination d'un majorant, d'un minorant, du maximum, du minimum, de la borne supérieure et de la borne inférieure de trois ensembles lorsque ces notions ont un sens.

Actividades: 0

TD MP A1

Horaires:

lundi 15h45-17h30 en 220-040
vendredi 10h30-12h15 en 336-146

TD du lundi 13 septembre:

question flash sur le calcul de puissances;
correction des exercices 1, 2 (questions 1, 2, 3, 4, 5, 9 et 11), 3, 4 et 5 du TD1.

TD du vendredi 17 septembre:

question flash sur la simplification d'expressions avec des racines carrées;
correction des exercices 8, 10, 12, 13 et 14 du TD1.

TD du lundi 20 septembre:

question flash sur la factorisation;
correction des exercices 15, 17, 19, 21 du TD1.

TD du vendredi 24 septembre:

question flash sur la résolution d'équations du second degré sans discriminant;
correction des exercices 22, 23, 26 et 27 du TD1.

TD du lundi 27 septembre:

question flash sur la factorisation de trinômes du second degré;
correction des exercices 1, 2 (a), 3, 4, 6 (questions 1 et 2) du TD 2.

TD du vendredi 1 octobre:

question flash sur les variations de suites;
correction de la fin de l'exercice 6 puis des exercices 8, 9 et 14 du TD2;
remise des évaluations.

TD du lundi 4 octobre:

question flash sur la détermination de limites de suites;
correction des exercices 15 du TD2, 1, 3 et 4 du TD3.

TD du vendredi 8 octobre:

question flash sur le calcul de limites de suites;
correction de l'exercice 6 du TD3 et des exercices 16 (sauf z7 et z9) et 17 du TD2.

TD du lundi 12 octobre:

question flash sur l'étude d'une suite arithmétique;
correction de l'exercice 19 et de la moitié de l'exercice 20 du TD2.

TD du vendredi 15 octobre:

question flash sur l'étude d'une suite géométrique;
correction des exercices 20 et 22 du TD2, puis de l'exercice 9 du TD3 (sauf la question 5).

TD du lundi 18 octobre:

question flash sur les images et les antécédents par une fonction;
correction des exercices 9 (question 5), 10, 11, 12 du TD3 et de la question 1 de l'exercice 2 du TD4.

TD du vendredi 22 octobre:

question flash sur la parité d'une fonction;
correction des exercices 2, 3, 5 et 6 du TD4.

TD du lundi 8 novembre:

question flash sur le calcul de limites;
correction des exercices 9, 10, 13, 14, 17 (questions 1 et 2) du TD4.

TD du vendredi 12 novembre:

question flash sur le calcul de limites ;
correction des exercices 17 (question 3), 19, 22 et 23 (questions 1 et 4) du TD 4.

TD du lundi 15 novembre:

question flash sur le théorème des valeurs intermédiaires;
correction des exercices 1, 3, 4, 5, 6 et 7 du TD 5.

TD du vendredi 19 novembre:

question flash sur l'étude d'une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires;
correction des exercices 8, 9, 10, 11 du TD 5.

TD du lundi 22 novembre:

question flash sur la dérivation;
correction des exercices 14, 17, 18 (question 1), 19 (questions 1 et 2), 20 du TD 5.

TD du vendredi 26 novembre:

question flash sur la dérivation;
correction des exercices 22, 24, 25 et 28 du TD 5.

TD du lundi 29 novembre:

question flash sur le calcul de limites avec la fonction logarithme;
correction des exercices 29, 30, 31, 37 (questions 2 et 4), 38 (question 1) du TD 5.

TD du vendredi 3 décembre:

question flash sur la dérivation et la fonction exponentielle;
correction des exercices 38 (questions 2 à 6), 39, 40 (questions 1 et 2), 42 du TD 5.

TD du lundi 6 décembre:

question flash sur la résolution d'inéquations;
correction des exercices 44, 45, 47 (question 1) du TD 5.

TD du vendredi 10 décembre.

question flash sur la résolution d'équation et d'inéquation avec la valeur absolue;
correction des questions 3, 4 et 6 de l'exercice 47 du TD 5.

TD du lundi 13 décembre:

question flash sur le calcul de racines carrées;
correction des exercices 47 (question 8) du TD 5 et des exercices 1 et 4 du TD 6.

TD du vendredi 17 décembre:

question flash sur la résolution d'équations du second degré sur C;
correction des exercices 9, 10, 13 (question 1).

Actividades: 0

TD MP A2

Horaires :

lundi 15:45 - 17:30
vendredi 10:30 - 12:15

TD lundi 13/09

question flash sur les puissances
exercices 1, 2(1, 2,3,4,5,9,11), 3, 4 de la feuille de TD 1

TD vendredi 17/09

question flash sur la simplification d'expressions avec des racines carrées
exercices 5, 8, 10, 12, 13, 14 de la feuille de TD 1

TD lundi 20/09

question flash sur la factorisation
exercices 15, 17, 19, 21, 22(sur le plus grand/petit élément) de la feuille de TD 1

TD vendredi 24/09

question flash sur la résolution d'équations du second degré sans utiliser le discriminant
exercices 22, 23, 26, 27 de la feuille de TD 1
exercice 1(a, b, c, d) de la feuille de TD 2

TD lundi 27/09

question flash sur la factorisation de trinômes du second degré
exercices 1(e, f), 2(a), 3, 4, 6, 8 de la feuille de TD 2

TD vendredi 01/10

question flash sur les variations de suites
exercices 8, 9, 14 de la feuille de TD 2

TD lundi 04/10

question flash sur les limites de suites
exercices 15, 16, 17, 19(z1, z2, z3, z4) de la feuille de TD 2

TD vendredi 08/10

question flash sur les limites de suites
exercices 19(z5, z6), 20, 22 de la feuille de TD 2
exercices 1 de la feuille de TD 3

TD lundi 11/10

question flash sur les suites arithmétiques
exercices 3, 4, 6, 9, 10, 11 de la feuille de TD 3

TD vendredi 15/10

question flash sur les suites géométriques
exercices 12 de la feuille de TD 3
exercices 2, 3, 5, 6, 9 (1, 2, 3) de la feuille de TD 4

TD lundi 18/10

question flash sur les images et les antécédents
exercices 9 (4, 5, 6), 10, 13, 14, 17 de la feuille de TD 4

TD vendredi 22/10

question flash sur la parité d'une fonction
exercices 19, 22, 23 (1) de la feuille de TD 4

TD lundi 08/11

question flash sur les limites des fonctions
exercice 23 (4) de la feuille de TD 4
exercices 1, 3, 4, 5, 6, 7 de la feuille de TD 5

TD vendredi 12/11

question flash sur les limites des fonctions
exercices 8, 9, 10, 11 de la feuille de TD 5

TD lundi 15/11

question flash sur l'utilisation du théorème des valeurs
intermédiaires
exercices 14, 17, 18(2), 19(1, 2) de la feuille de TD 5

TD vendredi 19/11

question flash sur l'utilisation du théorème des valeurs
intermédiaires
exercices 20, 22, 24(1) de la feuille de TD 5

TD lundi 22/11

question flash sur la dérivation
exercices 24(2), 25, 28(1, 2) de la feuille de TD 5

TD vendredi 26/11

question flash sur la dérivation
exercices 28(3), 29, 30 de la feuille de TD 5

TD lundi 29/11

question flash sur la fonction logarithme
exercices 37(2, 4), 38(1, 2, 3, 4) de la feuille de TD 5

TD vendredi 03/12

question flash sur la fonction exponentielle
exercices 38(5, 6), 39, 40(1, 2) de la feuille de TD 5

Actividades: 0

TD MP A3

Actividades: 0

TD MP B1

Horaires :

lundi 13h45-15h30, salle 107, bâtiment 336
vendredi 8h30-10h15, salle 306, bâtiment 336

Séance du lundi 13/09 :

Nous avons corrigé les exercices 1, 2.(1, 2, 3, 4, 9, 11), 3, 4, 5, 8 de la feuille de TD1.

Séance du vendredi 17/09 :

Nous avons corrigé les exercices 10, 12, 13.1, 15 de la feuille de TD1.

Séance du lundi 20/09 :

Nous avons corrigé les exercices 13.2, 13.3, 14, 17 de la feuille de TD1.

Séance du vendredi 24/09 :

Nous avons corrigé les exercices 19, 21, 22, 26, 27 de la feuille de TD1. Les questions 2 et 3 de l'exercice 22 n'ont pas été traitées en détail (il faut utiliser un raisonnement similaire à la question 1 de l'exercice 22, et à la question 3 de l'exercice 21). La question 1 de l'exercice 26 n'a pas été traitée en détail, mais on a donné une idée informelle de preuve. On a aussi fait un exercice bonus : résoudre dans R l'équation |2x+1|-|x+4|-|x-4|=0. Cet exercice illustre les subtilités qu'on peut rencontrer quand on résout une équation avec des valeurs absolues. Un corrigé de l'exercice 23 a été mis en ligne.

Séance du lundi 27/09 :

Nous avons corrigé les exercices 1, 2.a, 3, 4, 8 de la feuille de TD2.

Séance du vendredi 01/10 :

Nous avons corrigé les exercices 6, 9, 14, 15 de la feuille de TD2.

Séance du lundi 04/10 :

Nous avons corrigé les exercices 1, 3, 4, 6, 9.1,2,3,4 de la feuille de TD3.

Séance du vendredi 08/10 :

Nous avons terminé le cours sur les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal. Nous avons terminé l'exercice 9 (du TD3), corrigé l'exercice 12, et un corrigé de l'exercice 11 a été mis en ligne. L'exercice 10 du TD3 sera traité la semaine prochaine, mais le développement de (a+b)^8 avec la formule du binôme a été fait en détail pour montrer comment s'y prendre.

Séance du lundi 11/10 :

Nous avons traité les exercices 16 et 17 de la feuille de TD2.

Séance du vendredi 15/10 :

Nous avons traité l'exercice 10 de la feuille de TD3, ainsi que les exercices 19, 20.1, 20.2 de la feuille de TD2.

Séance du lundi 18/10 :

Nous avons traité l'exercice 22 de la feuille de TD2, et l'exercice 2 de la feuille de TD3.

Séance du vendredi 22/10 :

Nous avons traité les exercices 3, 5, 6 de la feuille de TD4.

Séance du lundi 08/11 :

Nous avons traité les exercices 9, 13, 14 de la feuille de TD4.

Séance du vendredi 12/11 :

Nous avons corrigé les exercices 10, 17, 19 de la feuille de TD4.

Séance du lundi 15/11 :

Nous avons corrigé les exercices 22, 23.1, 23.2 de la feuille de TD4, ainsi que les exercices 3 et 4 de la feuille de TD5. La question 23.4 de la feuille 4 est à préparer à la maison avant vendredi, elle sera corrigée vendredi.

Séance du vendredi 19/11 :

Nous avons corrigé la question 23.4 de la feuille de TD4, ainsi que les exercices 1, 5, 6, 7 de la feuille de TD5. Les exercices 8, 9, 10, 11 du TD5 seront traités en un bloc lundi prochain, ce serait une bonne idée d'y réfléchir en avance.

Séance du lundi 22/11 :

Nous avons corrigé les exercices 8, 9, 10, 11, 17 de la feuille de TD5. La question 3 de l'exercice 14 est à préparer à la maison.

Séance du vendredi 26/11 :

Nous avons corrigé les exercices 14, 18.2 et 19.2 de la feuille de TD5. Les exercices 20 et 22 sont à préparer à la maison.

Séance du lundi 29/11 :

Nous avons corrigé les exercices 20, 22, 24, 25, 29 de la feuille de TD5. L'exercice 30 (questions 1, 2, 4, 5) est à faire à la maison pour vendredi.

Séance du vendredi 03/12 :

Nous avons corrigé les exercices 28, 30.(1, 2, 4, 5), 31.2, 37.(2, 4) de la feuille de TD5. L'exercice 42 est à faire à la maison pour lundi.

Séance du lundi 06/12 :

Nous avons corrigé les exercices 38.(1, 2, 4, 5), 39.(1, 3), 42, 47.1 de la feuille de TD5. L'exercice 44.(1, 2, 3) est à faire à la maison pour vendredi.

Séance du vendredi 10/12 :

Nous avons traité les exercices 40.(1, 2), 44.(1, 2, 3), 45, 47.3 de la feuille de TD5. La question 47.6 est à préparer à la maison pour lundi.

Séance du lundi 13/12 :

Nous avons corrigé les exercices 47.(6, 8) de la feuille de TD5, et les exercices 1, 13.1 de la feuille de TD6. L'exercice 10 de la feuille 6 est à préparer à la maison pour vendredi.

Séance du vendredi 17/12 :

Nous avons corrigé les exercices 13.2, 4, 10 de la feuille de TD6.

Actividades: 5

TD MP B2

Dans ce dossier vous trouverez le cahier de texte de notre groupe de TD. Après chaque séance, je rappellerai ce qui aura été traité et ce qui sera à faire pour la séance suivante.

Parfois je déposerai aussi le corrigé d'un exercice plus difficile, ou moins bien réussi.

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MODE D'EMPLOI DES TDs :

1) D'abord il est impossible de venir en TD sans le cours correspondant ! Le TD sert à illustrer le cours, afin de l'assimiler plus profondément: vous devez donc avoir le cours avec vous, pour revoir telle définition, telle formule ou tel théorème. C'est seulement la bonne connaissance du cours qui vous permettra de réussir les exercices et les examens.

2) Ensuite le travail en TD ne sera efficace que si vous essayez vraiment de faire les exercices : recopier une solution écrite sur un tableau n'a jamais rien appris à personne.

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Séance 1 (Lundi 13 septembre 2021). Dans la fiche 1, correction exercices 1, 2 (questions 1,2,3,4,5,9,11), 3, 4, 5, 8, 10, 12 (question 1).

Question flash : Écrire les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 2 :
1 /2^6
2^{11}/2^5
(2^4)^{-3}
(2^{-4}×2^6)/2^5

(On a rappelé les règles de calcul avec les puissances : 1/a^p=a^{-p} ; a^pa^q=a^{p+q}; donc a^p / a^q=a^{p-q} et enfin (a^p)^q=a^{pq}.)

Pour la prochaine fois : finir l'exercice 12 (question 2, en utilisant la question 1).

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Séance 2 (Jeudi 16 septembre 2021). Correction fin exercice 12.

Exercice 13 (questions 1. et 2.) . On a rappelé que pour bien comparer deux nombres x,y , si c'est un peu compliqué, on peut toujours revenir à la définition : x>y <=> x-y>0. Cela évite de faire des erreurs de manipulation des inégalités : comme passer de x>y à tx > ty, sans avoir supposé que t>0...

Exercice 14.

Exercice 15. Résolution "au cas par cas" - puisque la valeur d'une expression avec une valeur absolue dépend du signe "sous" la valeur absolue.

Exercice 17 (question 1.).

Pour le 14 et le 17, on a rappelé que l'inégalité triangulaire est LA relation fondamentale à laquelle il faut penser, dès que l'on voit des valeurs absolues et des inégalités...

ET J'AI OUBLIE LA QUESTION FLASH DU JOUR !

La voilà :

Simplifier les écritures des nombres suivants (écrire sans racine carrée au dénominateur les deux derniers) :

(i) (8-√32)/4
(ii) 7/(1−√2)
(iii) 4/(√7 +√2)

SOLUTION :

(i) On a 32 = 16 X 2. Donc √32=√16 X √2. Et √16 = 4. Donc √32= 4√2. Alors (8-√32)/4 =(8-4√2)/4 = 8/4 - 4√2/4 =2-√2 .

(ii) et (iii) ASTUCE de la quantité conjuguée : on a toujours (x+√y)(x-√y)=x² - y, cela fait disparaître la racine carrée ! Donc si on voit dans un calcul une expression de la forme x+√y, on peut essayer de multiplier (et de diviser en même temps...) par x-√y. Et pareil : si on voit x-√y, on multiplie (et on divise) par (x+√y).

Par exemple 7/(1−√2) = 7 X (1+√2) / (1-√2) X (1+√2) (on a multiplié en haut et en bas de la fraction par 1+√2, évidemment cela ne change pas la valeur de la fraction). Or (1-√2)(1+√2) = 1-2=-1. Donc 7/(1−√2) = -7 (1+√2) = -7-7√2. Avec cette astuce, la racine carrée disparaît du dénominateur, elle remonte au numérateur.

Pour le (iii) : 4/(√7 +√2) = 4 X (√7 -√2) /(√7 +√2) X (√7 -√2). Or :

(√7 +√2) X (√7 -√2) =(√7)²-(√2)² = 7-2=5. Donc 4/(√7 +√2) = [ 4 (√7 -√2) ]/5= 4/5√7-4/5√2.

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Pour la prochaine fois: bien comprendre les calculs de la question flash, et aussi finir les exercices 13 et 17.

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Séance 3 (Lundi 20 septembre 2021).

Question flash : Factoriser (1) 3x²+x (2) 49x² -25 (3) (2x+1)²-(2x-1)².

Réponse flash : 3x²+x = x(3x+1) ; 49x² -25 = (7x-5)(7x+5) ; (2x+1)²-(2x-1)²=8x

Correction fin exercice 13 et 17.

Nous avons traité les exercices 19, 21 et 22 (1. et 2.). Nous avons insisté sur la différence entre majorant, maximum et borne supérieure d'une partie.

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Pour la prochaine fois, finir l'exercice 22.

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Séance 4 (Jeudi 23 septembre 2021).

Question flash : Résoudre les équations suivantes dans R (sans utiliser le discriminant et en se ramenant à une équation produit) (1) 3x²+x=0 (2) (x+1)² -4=0 (3) x²+7=0.

Réponse flash : 3x²+x = x(3x+1), donc 3x²+x=0 <=> x=0 ou x=-1/3; (x+1)² -4= (x+1-4)(x+1+4) , donc (x+1)² -4=0 <=> x=3 ou x=-5 ; x²+7≥7>0, donc pas de solution sur R. Mais factorisation sur C : x²+7 = x²-(i√7)²= (x-i√7)(x+i√7). Donc x²+7 = 0 <=> x = ±i√7.

Correction fin exercice 22.

Nous avons traité les exercices 23, 26 et 27. Nous avons commencé l'exercice 1 de la feuille 2 (sur les complexes). J'ai arrêté 5 mns avant la fin à cause du bruit.

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Pour la prochaine fois, finir l'exercice 1.

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Séance 5 (Lundi 27 septembre 2021).

Question flash : Factoriser les expressions suivantes (lorsque c'est possible) (1) -3x²-5x +2 (2) 2x²-4x+2,4 (3) x²-2x+1.

Réponse flash : -3x²-5x +2 s'annule pour x=2 (racine "évidente"), donc -3x²-5x +2=(x-2)(ax+b) avec a,b des coefficients à determiner. En développant, puis en identifiant on trouve -3x²= ax²(donc a=-3) et 2=-2b (donc b=-1). Finalement -3x²-5x +2=(x-2)(3x-1).

x²-2x+1 = (x-1)² . Et 2x²-4x+2,4 = 2[(x-1)² + 0,2]>0, pas de factorisation possible.

Correction exercices 1 et 3.

Nous avons traité les exercices 2 (a), 4, 6, et 8.

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Pour la prochaine fois, faire l'exercice 9.

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Séance 6 (Jeudi 30 septembre 2021).

Question flash : Déterminer le sens de variation des suites ci-dessous (étudier le signe de u_n+1-u_n) :

(1) Pour n dans N : u_n=n² (2) Pour n dans N, n>0 : v_n=1+1/n (3) Pour n dans N : w_n=(-1)ⁿ

Réponse : (1) u_n+1-u_n=2n+1>0, donc u_n est strictement croissante.

(2) v_n+1-v_n=1/(n+1)-1/n=-1/n(n+1) < 0, donc v_n est strictement décroissante.

(3) La suite w_n n'est pas croissante car w₁<w₀ et elle n'est pas décroissante car w₂>w₁. Elle n'a pas de sens de variation déterminé.

Correction exercice 9. Nous avons insisté à nouveau sur le fait que les complexes z correspondent à des points d'un plan (avec pour coordonnées les parties réelles et imaginaires de z). Alors pour deux complexes u,v quelconques le module de la différence |u-v| re présente la distance entre les deux points u,v (ou entre les deux points du plan qui correspondent à u et v). Cette interprétation géométrique permet de visualiser rapidement les ensembles de complexes correspondant à certaines équations.

Nous avons traité les exercices 14 et 15. Nous avons rappelé que (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³. Et aussi que la notation e^ix à la place du complexe cos(x)+i sin(x) permet de travailler avec ce nombre "comme" avec une exponentielle réelle, la propriété fondamentale étant que e^ixe^iy=e^i(x+y).

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Pour la prochaine fois, faire l'exercice 16. Nous commencerons la feuille 3.

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Séance 7 (Lundi 4 Octobre 2021).

Question flash : Déterminer la limite des suites ci-dessous (quand n tend vers l'infini - bien sûr !) :

(1) Pour n dans N : u_n=n³ -n²+3n+1 (2) Pour n dans N : v_n=n-√n (3) Pour n dans N : w_n=√(n+2) - √(n+1)

Réponse : (1) n³ -n²+3n+1=n³(1-1/n+3/n²+1/n³). Or 1/n tend vers 0 (quand n tend vers l'infini), et donc par produit 3/n², et 1/n³) tendent aussi vers 0. Alors par somme de limites 1-1/n+3/n²+1/n³ tend vers 1. Donc finalement par produit u_n tend vers plus l'infini.

(2) n-√n = n(1-√n/n). Or √n / n = 1/√n qui tend vers 0. Donc 1-√n/n tend vers 1. Et n-√n tend vers plus l'infini.

(3) En utilisant la quantité conjuguée on a √(n+2) - √(n+1) = [(n+2)-(n+1)]/√(n+2) + √(n+1) = 1/√(n+2) + √(n+1). Or √(n+2) + √(n+1) tend vers + infini comme somme de deux suites qui tendent vers + infini. En conclusion la suite w_n tend vers 0.

Dans l'exercice 16 (feuille 2) nous avons corrigé 1), 2), 3). Nous avons rappelé qu'il fallait faire un dessin et un tableau pour ne pas se tromper sur l'argument. Nous avons revu pourquoi on commence par trouver le module de z, puis on divise z par son module, ce qui donne un nombre u de module égal à 1. Alors on peut écrire u sous la forme e^{i theta}

Comme il y a avait un certain flottement dans les réponses j'ai redonné l'exercice à finir pour la prochaine fois.

Nous avons commencé la feuille 3 sur le raisonnement par récurrence, nous avons traité les exercices 1 et 3.

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Pour la prochaine fois, faire les exercices 16, 17, et 4 de la feuille 3.

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Séance 8 (Jeudi 7 Octobre 2021).

Question flash : Déterminer la limite des suites ci-dessous (quand n tend vers l'infini - bien sûr !) :

(1) Pour n dans N : u_n=(n² -1)/(n+1) (2) Pour n dans N : v_n=(1-n³)/(n-5n⁴) (3) Pour n dans N : w_n=(2n⁴-1)/(n²+5n⁴)

Réponse : (1) + l'infini. (2) 0 (3) 2/5.

La méthode (systématique !) est la suivante : au numérateur et au dénominateur on met en facteur le terme "le plus grand" (celui qui l'emporte sur tous les autres termes de la somme). On peut alors conclure.

Nous avons corrigé l'exercice 16 (feuille 2) et fait l'exercice 17. Le point-clé est que les formes trigonométriques se multiplient bien et se divisent bien. Attention : si z= r e^{i theta} avec r réel, cela n'est pas forcément la forme trigonométrique, puisqu'il faut r réel positif ! On utilisera alors le fait que -1=e^iπ.

Nous avons continué la feuille 3 : nous avons corrigé l'exercice 4 et commencé l'exercice 9 (deux premières questions).

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Pour la prochaine fois, faire l'exercice 6 de la feuille 3.

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Séance 9 (Lundi 11 Octobre 2021).

Question flash :

Soit (u_n)_n une suite arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison
r = 2.
1. Exprimer pour tout n ∈ N, u_n en fonction de n.
2. En déduire le sens de variation de (u_n)_n.
3. (u_n)_n est-elle convergente ou divergente ?
4. Calculer S =la somme des u_k pour k allant de 0 à 5.

Réponse : (1) u_n=u₀+nr=5+2n (2) La suite est croissante. (3) Elle tend vers plus l'infini, donc diverge. (4) S=60.

Nous avons corrigé l'exercice 6 (feuille 3) et terminé l'exercice 9 (formule du binôme).

Dans la feuille 2 nous avons commencé l'exercice 19. Nous avons rappelé qu'une racine carrée d'un nombre complexe z est un nombre complexe w tel que w2=z. Que 0 a une seule racine carrée : lui-même. Mais que si z est non nul alors il admet exactement deux racines carrées: si l'une est w, l'autre est -w. De plus on peut trouver une racine carrée de z si z est mis sous forme trigonométrique : lorsque z = r e^{i theta}, on peut prendre w = √r e^{i (theta /2)}.

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Pour la prochaine fois, finir l'exercice 19.

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Séance 10 (Jeudi 14 Octobre 2021).

Question flash :

Soit (u_n)_n une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison
q = 3.
1. Exprimer pour tout n ∈ N, u_n en fonction de n.
2. En déduire le sens de variation de (u_n)_n.
3. (u_n)_n est-elle convergente ou divergente ?
4. Calculer S =la somme des u_k pour k allant de 0 à 5.

Réponse : (1) u_n=u₀qⁿ=3ⁿ (2) La suite est croissante. (3) Elle tend vers plus l'infini, donc diverge. (4) S=1+3+...+3⁵=(3⁶-1)/(3-1)=364.

Nous avons corrigé l'exercice 10 (feuille 3) et traité les exercices 10 et 11.

Dans la feuille 2 nous avons continué l'exercice 19 (z₄, z₅). Nous avons rappelé comment trouver une racine carrée w=a+ib d'un nombre z=x+iy. La relation w2=z équivaut à a²-b²+2iab=x+iy, donc à a²-b²=x (R) et 2ab = y (I). En fait si w²=z alors en passant aux modules on obtient a²+b²=√(x²+y²) (M). En faisant (R)+(M) on obtient 2a²=x+√(x²+y²), en faisant (M)-(R) on obtient 2b²=√(x²+y²) - x, en regardant 2ab=y, on voit si a et b sont de même signe ou non.

Nous avons commencé l'exercice 20 : nous avons résolu la première équation en rappelant la méthode donnée en cours. On procède presque comme dans R : d'abord on calcule ∆ = b²-4ac, puis on en cherche une racine carrée u (méthode de l'exercice précédent), alors les deux racines sont -b± u/2a, soit : -b±une racine carrée de ∆ / 2a.

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Pour la prochaine fois, finir l'exercice 19. Résoudre la deuxième équation polynômiale de l'exercice 20.

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Séance 11 (Lundi 18 Octobre 2021).

Question flash :

Soit f la fonction carré.
1. Déterminer l’image de [0, 2] par f.
2. Déterminer l’image de [−1, 3] par f.
3. Déterminer les antécédents des réels de l’intervalle [0, 4] par f.
4. Déterminer les antécédents des réels de l’intervalle [9,+∞[ par f.

Réponse : (1) f est croissante entre 0 et 2, avec f(0)=0 et f(2)=4, donc f([0;2])=[0;4]. (2) f est décroissante entre -1 et 0, avec f(-1)=1 et f(0)=0, donc f([-1;0])=[0;1]. Et f est croissante entre 0 et 3, avec f(0)=0 et f(3)=9, donc f([0;3])=[0;9]. Pour conclure f([-1;3]) est la réunion de f([-1;0]) et de f([0;3]), donc c'est [0;9]. (3) On a f(x) dans [0;4] <=> x²≤ 4 <=> -2≤x≤2. Donc l'ensemble des antécédents de [0;4] par f est l'intervalle [-2;2]. (4) On a f(x) dans [9,+∞[ <=> x²≥9 <=> x≥3 ou x≤-3. Donc l'ensemble des antécédents de [9,+∞[ par f est ]-∞;3] U [3,+∞[.

Nous avons corrigé l'équation 2 de l'exercice 20 (feuille 2) et traité l'équation suivante. Puis nous avons traité les deux premières questions de l'exercice 2 (feuille 4).

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Pour la prochaine fois, finir l'exercice 20 (f. 2) et l'exercice 2 (f. 4).

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Séance 12 (Jeudi 21 Octobre 2021).

Question flash :

Pour chaque fonction, déterminer si elle est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
1. x → 5/x + 4x^3 définie sur R^*
2. x → −2/x^2 + 7 définie sur R^*
3. x →(x − 3)/(x^2 + 2) définie sur R

Réponse : (1) Pour tout x dans le domaine de définition de f, on a f(-x)=-f(x), donc f est impaire. (2) Pour tout x dans le domaine de définition de f, on a f(-x)=f(x), donc f est paire. (3) f(0)=-3/2 : comme f(0)≠0, la fonction f n'est pas paire. Puis f(-3)<0 alors que f(3)=0, donc f n'est pas impaire.

Nous avons corrigé l'exercice 22 (feuille 2) et la fin de l'exercice 2 (feuille 4). Puis nous avons traité les exercices 3 et 5 (feuille 4).

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Séance 13 (Jeudi 28 Octobre 2021).

Question flash :

Déterminer dans chacun des cas la limite demandée (indication : encadrement) :
1. lim_{x →- ∞} 2x − sin(x)
2. lim_{x →+ ∞} (1 + cos(x))/√x
3. lim_{x →+ ∞} (x sin(x))/(x² + 1)

Réponse : (1) Pour tout x dans R, on a -1≤ sin(x)≤ 1, donc 2x-sin(x)≥2x-1. Lorsque x tend vers + ∞ on voit que 2x-1 tend vers + ∞, donc on en déduit par le théorème des gendarmes que 2x-sin(x) tend vers + ∞. (2) Pour tout x dans R, on a 0≤1 + cos(x)≤2, donc 0≤(1 + cos(x))/√x ≤2/√x. Lorsque x →+ ∞, 2/√x tend vers 0, donc on en déduit par le théorème des gendarmes que (1 + cos(x))/√x tend vers 0. (3) Pour tout x dans R, on a

0≤|x sin(x)|/(x² + 1) ≤ |x|/(x² + 1) ≤ 1/x si x>0. On en déduit par le théorème des gendarmes que lim_{x →+ ∞} (x sin(x))/(x² + 1)=0.

Nous avons corrigé l'exercice 6 (feuille 4). Puis nous avons traité les exercices 9, 10 et 13 (feuille 4).

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Séance 14 (Lundi 8 Novembre 2021).

Question flash :

Déterminer dans chacun
des cas la limite demandée :
1. lim_{x →}₃+ (1 − 4x)/(x − 3)
2. lim_{x →+ ∞} (√x + 2 − 3x)/x
3. lim_{x →-2}- (−2x)/(3x + 6)

Réponse : (1) D'abord lim_{x →}₃+ 1-4x = -11. Ensuite lim_{x →}₃+ x-3=0⁺. On en déduit que

lim_{x →}₃+ (1 − 4x)/(x − 3) = -∞.

(2) Pour tout x >0 on a (√x + 2 − 3x)/x = 1/√x + 2/x − 3. Comme lim_{x →+ ∞} 1/√x=lim_{x →+ ∞} 1/x=0, on obtient par somme de limites que lim_{x →+ ∞} (√x + 2 − 3x)/x = -3.

(3) Dire que x tend vers -2^-, c'est dire que x=-2+h avec h→0^- . Alors pour tout x ≠ -2 on a (−2x)/(3x + 6)=(4-2h)/3h =4/3h - 2/3. Quand h→0^- , 4/3h tend vers -∞. Donc par somme de limites lim_{x →-2}- (−2x)/(3x + 6) = -∞.

Nous avons traité les exercices 14, 17 et 19 (feuille 4). Pour le 14, nous avons remarqué que la suite est du type de celles qui sont "définies" par une relation de récurrence : u_n+1=f(u_n), où f est une fonction. Si f(x) nb'est pas définie pour tout réel x, il faut s'assurer que u_n est définie pour tout entier n - ce que nous avons vérifié par récurrence. Pour l'étude de la croissance ou de la limite éventuelle de u_n, ce qui compte c'est le signe de f(x)-x, ou les zéros de f(x)-x.

Pour la prochaine fois faire le 22.

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Séance 15 (Lundi 15 Novembre 2021).

Question flash :

On considère une fonction f définie sur R, continue sur R, dont le tableau
de variation est :
x : -∞ 2 +∞

f(x) : 0 ↑ 5 ↓ -∞

1. Montrer que si m ∈]0, 5[ alors l’équation f (x) = m admet au moins une solution sur R.
2. Montrer que si m ∈]5, +∞[ alors l’équation f (x) = m n’a pas de solution sur R.

Réponse : (1) La fonction f est continue et croissante sur ]-∞;2], avec lim_{x →+ ∞} f(x)=0 et f(2)=5. Donc lorsque x décrit l'intervalle ]-∞;2], le nombre f(x) varie de 0 à 5 (0 pas atteint a priori). Donc si m ∈]0, 5[ alors l’équation f (x) = m admet au moins une solution sur ]-∞;2]. En fait, par le même argument, l’équation f (x) = m admet au moins une solution sur [2;+∞[. Donc en fait l'équation f (x) = m admet au moins une solution sur R.

(2) Ici la continuité n'est pas utilisée, juste la croissance de f sur ]-∞;2], qui implique que si x≤2 alors f(x)≤f(2)=5, et la décroissance de f sur [2;+∞[, qui implique que si x≥2 alors f(x)≤f(2). Pour finir la valeur maximale de f est f(2)=5. Donc si m>5, alors m n'est pas une valeur prise par f : l’équation f (x) = m n’a pas de solution sur R.

Nous avons fait l'exercice 22 sur les suites, et le (a) du 23. Puis nous avons traité les exercices 1 et 3 de la feuille 5.

Pour la prochaine fois faire le (d) de l'exercice 23 sur les suites.

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Séance 16 (Jeudi 18 Novembre 2021).

Question flash :

On considère la fonction f : [−2, +∞[ → R , x →x^3 −3x^2 +3.

1. Dresser le tableau de variation de f.
2. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet au moins une solution dans [−2, +∞[.

Réponse : (1) On a f'(x) = 3x^2-6x. Donc f'(x)= 3x(x-2) [rappel : toujours factoriser une dérivée ! car c'est lorsque f'(x) est écrit sous forme de produit qu'il est facile de trouver son signe]. Donc f'(x) est nul en x=0 et x=2, négative sur [0;2] et positive endehors de cet intervalle. D'où le tableau de variations :

x : -2 0 2 +∞

f'(x) : + 0 - 0 +

f(x) : -17 ↑ 3 ↓ -1 ↑ +∞

(2) La fonction f est continue et croissante sur [-2;0]. De plus f(-2)=-17 et f(0)=3. Donc quand x varie de -2 à 0, l'image f(x) prend toutes les valeurs de -17 à 3. En particulier, puisque 1 est intermédiaire entre -17 et 3, il y a (au moins) un x entre -2 et 0 tel que f(x)=1. (En fait ce raisonnement s'applique aussi sur les intervalles [0;2] et [2;+∞[, de sorte qu'en fait l'équation f(x)=1 possède au moins trois solutions sur [-2;+∞[ : une solution dans [-2;0], une dans [0;2] et une dans [2;+∞[.)

Nous avons corrigé le (d) du 23. Puis nous avons traité les exercices 4, 5, 6 et 7-a,7-b de la feuille 5. A cette occasion, il m'a semblé que les notions d'image directe et d'image réciproque n'ont pas été apprises - je vous rappelle qu'elles sont au programme ! Et qu'elles serviront beaucoup (mais plus tard).

Pour la prochaine fois finir l'exercice 7 (7-c) et faire l'exercice 8.

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Séance 17 (Lundi 22 Novembre 2021).

Question flash :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes et préciser leur domaine de dérivabilité.
1. f:x→7x²−5x+ 2
2. g:x→ 3/x
3. h:x→ √x(6x³−2)

Réponse : On commence par rappeller la formule générale suivante : (xⁿ)'=nx^n-1 . Cette formule de dérivation est valable pour tout entier naturel n. Mais en fait on a aussi (x^r)'=rx^r-1 pour tout nombre rationnel r = p/q, avec p un entier relatif et q un entier naturel non nul : cette formule de dérivation d'une puissance de x permet de retrouver beaucoup de cas particuliers, quand on la combine avec d'autre règles de dérivations !

(1) On utilise en plus que (u+v)'=u'+v'. Alors on a f'(x) = 14x-5. Ici f est dérivable sur R.

(2) On utilise que (1/x)'=-1/x²- formule que l'on peut retrouver en appliquant la dérivée de x^r, avec r=-1. Ou en utilisant la règle (u/v)' =(u'v-uv')/v² avec u=1 et v=x. On obtient g'(x)=-3/x². (On a aussi utilisé la règle : (Ku)'=Ku' pour toute constante K.) Ici g est dérivable sur R* (là où elle est définie).

(3) Enfin on utilise la règle de dérivation des produits : (uv)'=u'v+uv', ainsi que la formule de dérivation de √x : (√x)'=1/2√x - formule que l'on peut retrouver en appliquant la dérivée de x^r, avec r=1/2... On obtient h'(x) = 1/2√x(6x³−2)+√x(18x²)=21x^5/2-1/√x.

Dans la feuille 5, nous avons corrigé le 3 du 7, mais comme personne n'avait vraiment fait le 8 nous l'avons laissé en suspend (le cas dérivable a été abordé). Nous avons alors traité les exercices 9, 10 (questions 1 et 2), et 11.

Pour la prochaine fois finir l'exercice 10 (10-3).

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Séance 18 (Jeudi 25 Novembre 2021).

Question flash :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes et préciser leur domaine de dérivabilité.
1. f: x→(3x+ 1)/(2x²+ 5)
2. g: x→ 1/(x²+ 2x−3)
3. h: x→ (5x+ 1)³

Réponse : En utilisant (xⁿ)'=nx^n-1 et la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient : (uⁿ)'=nu'u^n-1.

(1) On a f'(x) = [3(2x²+5)-(3x+1)4x]/[2x²+5]² =[15-12x²-4x]/[2x²+5]² . (Ici f est dérivable sur R.)

(2) On utilise que (1/u)'=-u'/u². On obtient g'(x)=-(2x+2)/[x²+ 2x−3]². Ici g est dérivable sur R-{1;-3} (là où elle est définie).

(3) On a h'(x) =3.5.(5x+ 1)²=15(5x+ 1)².

Dans la feuille 5, nous avons corrigé le 3 du 10. Nous avons alors traité les exercices 14, 17, 18 (question 2), 19 (1 et 2) et 22.

Pour la prochaine fois faire les exercices 20 et 24.

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Séance 19 (Lundi 29 Novembre 2021).

Question flash :

Déterminer les limites suivantes :
1. lim_x→+∞ (ln(x))² − ln(x)
2. lim_x→+∞ln(x) − 2x
3. lim_x→+∞ ln(x² + 105x + 18)

Réponse :

(1) C'est une limite indéterminée, comme différence de deux fonctions tendant vers +∞ . Mais on a (ln(x))² − ln(x) = ln(x)( ln(x) -1). Or lim_x→+∞ln(x) =+∞ . Donc on a aussi lim_x→+∞ln(x) - 1 =+∞ et par produit lim_x→+∞ (ln(x))² − ln(x) = +∞ .

(2) C'est encore une limite indéterminée, du type "(+∞) -(+∞) " . On sait cependant que "x l'emporte sur ln(x) quand x tend vers +∞ ", donc on met en facteur le terme que l'on devine le plus gran : on a ln(x) − 2x = (-2x)(1-[ln(x)/2x]). Or ln(x)/x tend vers 0 (croissance comparée), donc lim_x→+∞ln(x) − 2x = -∞ .

(3) Comme le polynôme tend vers +∞, et que ln(y) tend vers +∞ quand y tend vers +∞, par composition de limites on a lim_x→+∞ ln(x² + 105x + 18) = +∞ .

Dans la feuille 5, nous avons corrigé les exercices 20 et 24. Nous avons traité le 25 et le 28 (1 et 2). Pour la prochaine fois : faire 29 (g et h) et 30.

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Séance 20 (Jeudi 2 Décembre 2021).

Question flash :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies pour tout x ∈ R :
1. x → (e^x + 2)(e^x − e)
2. x → (2e^x − 1)/(e^x + 3)
3. x → e^{x³+2x²+1}

Réponse :

(1) f'(x)=u'v+uv'=e^x(e^x − e) + (e^x + 2)e^x = e^x(2e^x − e+2).

(2) f'(x)=(u'v-uv')/v²=(2e^x(e^x + 3)-(2e^x − 1))e^x/(e^x + 3)²=7e^x/(e^x + 3)² .

(3) On rappelle une formule fondamentale de dérivation: si f(x)=g(u(x)) alors f'(x)=u'(x)g'(u(x)). Cela permet de retrouver les dérivées de e^u(x) (-> u'(x)e^u(x) ), ln(u(x)) (-> u'(x)/u(x) ), sin(u(x)) (-> u'(x)cos(u(x) ) , √u(x) (-> u'(x)/2√u(x) ) ...

Ici f'(x) = u'e^u =(3x²+4x) (e^{x³+2x²+1}).

Nous avons rappelé la définition de x^a pour a un réel quelconque et x>0 : cette notation représente en fait la fonction composée e^aln(x). Avec la règle de dérivation des fonctions composées on a [e^aln(x)]'=(aln(x))'e^aln(x)=(a/x) e^aln(x)=(a/e^ln(x))e^aln(x)=ae^(a-1)ln(x)=ax^a-1. On retrouve la règle déjà mentionnée : (x^r)'=rx^r-1(r un rationnel). On démontre facilement que pour un entier n quelconque on a bien e^nln(x)= xⁿ, donc la notation x^a n'est pas en contradiction avec la notation classique pour les puissances entières.

Dans la feuille 5, nous avons corrigé les exercices 29 (g et h) et 30. Nous avons traité les exercices 31 (1), 38 (1-3-4-5), 39 (1-2), 40 (2).

A l'occasion du 31, nous avons rappelé l'énoncé du TVI qui n'était pas vraiment connu - alors qu'il est absolument fondamental : une fonction f continue sur [a;b] prend toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b). On a insisté sur l'hypothèse de continuité : sans cette hypothèse, la fonction pourrait "sauter" au dessus d'une valeur intermédiaire. On a aussi insisté sur le fait qu'on ne suppose pas f monotone dans cet énoncé. Quand la fonction f n'est pas monotone, elle peut aussi prendre des valeurs qui ne sont pas entre f(a) et f(b).

Nous avons essayé de faire le 37 (2) - mais nous avons réalisé que nous n'avions pas les outils pour le faire !

Pour la prochaine fois, faire le 42.

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Séance 21 (Lundi 6 Décembre 2021).

Question flash :

Résoudre les inéquations suivantes :
1. (5−x)(2x+ 1)<0 (pour x∈R) ;
2. 1/x < 1/(2x−1) (pour x∈R\{0,1/2}).

Réponse :

(1) On fait un tableau de signe.

(2) Ici aussi on fait un tableau de signes. Mais on commence par utiliser l'équivalence 1/x < 1/(2x−1) <=> 1/(2x−1) - 1/x >0.

Dans la feuille 5, nous avons corrigé l'exercice 42. Nous avons ensuite traité l'exercice 44. On a rappelé plusieurs résultats fondamentaux, qui ne sont pas encore bien assimilés : si une fonction f:I->R présente un maximum ou un minimum en un point a, avec a dans l'intérieur de l'intervalle I, alors f'(a)=0 (tangente horizontale). C'est encore vrai si on a seulement un maximum ou un minimum local en a. La réciproque est fausse. La connaissance du signe de la dérivée seconde permet parfois de démontrer qu'un zéro de la dérivée est un extremum local (exercice 42). D'autre part le théorème des accroissements finis dit que si f est continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[ alors la courbe admet (à l'intérieur) une tangente parallèle à la droite passant par les extrémitiés A,B du graphe. Le cas particulier de Rolle dit que sous les mêmes hypothèses et en supposant que f(a)=f(b), alors il existe c∈]a;b[ tel que f'(c)=0.

Enfin nous avons rappelé que la tangente à C_f en x₀ est l'unique droite (1) passant par le point du graphe (x₀,f(x₀)) et (2) qui colle à C_f, donc a pour coefficient directeur f'(x₀). Il en résulte que son équation est y = f'(x₀)(x-x₀)+ f(x₀).

Nous avons très rapidement abordé l'étude du polynôme pair f₁ dans l'exercice 47.

Pour la prochaine fois, faire l'étude complète de la fonction f₃ (exercice 47).

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Séance 22 (Jeudi 9 Décembre 2021).

Question flash :

Résoudre les équations ou les inéquations suivantes sur R:
1. 1/2|x+ 5| = x−2
2. |x−3| ≤ 1

Réponse :

(1) Si x<2 le nombre x-2 est <0, donc il ne peut pas être égal à 1/2|x+ 5|. Si x≥2 on a x+5≥7 donc ≥0 et l'équation devient 1/2(x+ 5) = x−2, dont la solution est x=9 (qui est bien ≥2). L'unique solution est donc x=9.

(2) |x−3| ≤ 1 <=> -1≤x-3≤1 <=> 3-1≤ x ≤ 3+1 <=> x∈[2;4].

Dans la feuille 5, nous avons continué l'exercice 47: corrigé l'étude de f₃, fait celle de f₆ et celle de f₉.

Pour la prochaine fois, faire l'exercice 45.

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Séance 23 (Lundi 13 décembre 2021).

Question flash :

Déterminer les racines carrées des nombres suivants :
1. −16
2. 3 + 4i

Réponse :

(1) -16= i²4²=(4i)². Donc une racine carrée de -16 est 4i, l'autre est -4i.

(2) Le nombre complexe a+ib est une racine carrée de 3 + 4i <=> les réels a,b vérifient les trois équations suivantes : (R) a²-b²=3 (I) 2ab=4 (M) a²+b²=|3+4i| = 5, soit 2a²=8 (R+M) et b=2/a. Les racines carrées de 3+4iç sont donc ±(2+i) .

Nous avons corrigé l'exercice 45. Puis nous avons commencé la feuille 6, dans laquelle nous avons traité l'exercice 1 et l'exercice 4. Pour la prochaine fois, faire l'exercice 9.

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Actividades: 1

TD MI 1

* Vendredi 1er octobre. Exercices n°6 (avec les propriétés sur le module), n°7, n°8, n°9 et n°14.
Devoirs pour lundi 4 octobre. Faire les exercices n°1 et 2 de la feuille n°3.

Actividades: 0

TD MI 2

Lundi 13 septembre : TD1, exercices de 1 à 5 (toutes questions) et exercice 7. Question flash 36 (sur les puissances de 2).

Vendredi 17 septembre : TD1, exercices 8, 10, 12, 13.

Lundi 20 septembre : TD1, exercices 14, 15, 17, 19, 21. Question flash 27 (sur la simplification d'expressions avec des racines carrées).

Vendredi 24 septembre : TD1, exercices 22, 23, 26, 27. Question flash 41 (sur la factorisation de trinôme du second degré).

Lundi 27 septembre : TD2, exercices 1, 2, 17, 3.1, 3.2. Question flash 46 (sur les limites de suite).

Vendredi 1 octobre : TD2, exercices 3.3, 4, 6. Question flash 48 (sur les limite de suite).

Lundi 4 octobre : TD2, exercices 3.3, 4, 6, 8, 9, 14.

Vendredi 8 octobre : TD2, exercices 15, 16, 17, 19. Question flash 49 (sur les limite de suite).

Lundi 11 octobre : TD2, exercices 20.1, 20.2, 20.3, 20.4, 22. Question flash 53 (sur les limite de suite).

Vendredi 15 octobre : TD3, exercices 1, 3, 4, 6, 9.1, 9.2, 9.3. Question flash 54 (sur les limite de suite).

Lundi 18 octobre : TD3, exercices 9.4, 9.5, 10, 11. Question flash 57 (sur les limite de fonction).

Vendredi 22 octobre : TD3, exercice 12. TD4, exercices 2, 3.

Lundi 8 novembre : TD4, exercices 5, 6, 9.1-9.4.

Vendredi 12 novembre : TD4, exercices 9.5-9.6, 10, 13, 14, 17 (solution à donner le prochain TD). Question flash 61 (sur les limite de fonction).

Lundi 15 novembre : TD4, solution de l’exercice 17, exercices 19, 22. Question flash 62 (sur les dérivées de fonction).

Vendredi 19 novembre : TD5, exercices 1, 3, 4, 5, 6, 7.1. Question flash 63 (sur les dérivées de fonction).

Lundi 22 novembre : TD5, exercices 7.2, 7.3, 8, 9. Question flash 65 (sur l’équation de la tangente).

Vendredi 26 novembre : TD5, exercices 10, 11. Question flash 66 (sur les dérivées de fonction).

Lundi 22 novembre : TD5, exercices 14, 17. Question flash 78 (sur la fonction logarithme).

Vendredi 3 décembre : TD5, exercices 20, 22, 24, 25. Exercice 28 sans solution (à donner au prochain TD). Question flash 71 ( sur la fonction exponentielle).

Lundi 6 décembre : TD5, solution du 28, exercices 29, 30. Question TD 21.

Vendredi 10 décembre : TD5, exercices 31.a, 37.2, 37.4, 38.4, 38.5, 38.6. Question TD 22.

Lundi 13 décembre : TD5, exercices 39, 47.1, 47.4. Question TD 23.

Vendredi 17 décembre : TD6, exercices 1, 4. Question TD 24.

Actividades: 0

TD MI 3

Horaires:

lundi 13h45-15h30 en 336-127
vendredi 13h30-15h15 en 336-128

TD du lundi 13 septembre:

question flash sur le calcul de puissances;
correction des exercices 1, 2 (questions 1, 2, 3, 4, 5, 9 et 11), 3, 4 et 5 du TD1.

TD du vendredi 17 septembre:

question flash sur la simplification d'expressions avec des racines carrées;
correction des exercices 8, 10, 12, 13 et 14 du TD1.

TD du lundi 20 septembre:

question flash sur la factorisation;
correction des exercices 15, 17, 19, 21 et de la question 1 de l'exercice 22 du TD1.

TD du vendredi 24 septembre:

question flash sur la résolution d'équations du second degré sans discriminant;
correction des exercices 22, 23, 26, 27 du TD1 et de toutes les questions de l'exercice 1 du TD2 sauf la dernière.

TD du lundi 27 septembre:

question flash sur la factorisation de trinômes du second degré;
correction des exercices 1(f), 2(a), 3, 4, 6 du TD2.

TD du vendredi 1 octobre:

question flash sur les variations des suites;
correction des exercices 8, 9 et 14 du TD2;
remise des évaluations.

TD du lundi 4 octobre:

question flash sur la détermination de limites de suites;
correction des exercices 15 du TD2 et des exercices 1, 3, 4 et 6 du TD3.

TD du vendredi 8 octobre:

question flash sur le calcul de limites de suites;
correction des exercices 9, 10 et 11 du TD3.

TD du lundi 12 octobre:

question flash sur l'étude d'une suite arithmétique;
correction de l'exercice 12 du TD3 et de l'exercice 16 du TD2 (sauf z7, z8 et z9).

TD du vendredi 15 octobre:

question flash sur l'étude d'une suite géométrique;
correction des exercices 16 (z8), 17, 19 et des questions 1 et 2 de l'exercice 20 du TD2.

TD du lundi 18 octobre:

question flash sur les images et les antécédents par une fonction;
correction des exercices 20 (questions 3 et 4) et 22 du TD2, 2 et 3 (question 1) du TD4.

TD du vendredi 22 octobre:

question flash sur la parité des fonctions;
correction des exercices 3 (question 2), 5, 6 et 9 du TD4.

TD du lundi 8 novembre:

question flash sur le calcul de limites;
correction des exercices 10, 13, 14, 17, 19 du TD4.

TD du vendredi 12 novembre:

question flash sur le calcul de limites;
correction des exercices 22, 23 (questions 1 et 4) du TD 4 et des exercices 1, 3 et 4 du TD 5.

TD du lundi 15 novembre:

question flash sur le théorème des valeurs intermédiaires;
correction des exercices 5, 6, 7, 8 et 9 (question 1) du TD 5.

TD du vendredi 19 novembre:

question flash sur l'étude d'une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires;
correction des exercices 9 (question 2), 10, 11, 14, 17, 18 (question 2) du TD 5.

TD du lundi 22 novembre:

question flash sur la dérivation;
correction des exercices 19 (questions 1 et 2), 20, 22, 24, 25 du TD 5.

TD du vendredi 26 novembre:

question flash sur la dérivation;
correction des exercices 28, 29, 31 et 37 (question 2).

TD du lundi 29 novembre:

question flash sur le calcul de limites avec la fonction logarithme;
correction des exercices 37 (question 4), 38, 39, 47 (question 1) du TD 5.

TD du vendredi 3 décembre:

question flash sur la dérivation et la fonction exponentielle;
correction des exercices 47 (question 3), 40 (questions 1 et 2), 42 et 44 (questions 1 et 2) du TD 5.

TD du lundi 6 décembre:

question flash sur la résolution d'inéquations;
correction des exercices 44 (questions 3 et 4), 45, 47 (questions 4 et 6) du TD 5.

TD du vendredi 10 décembre:

question flash sur la résolution d'équation et d'inéquation avec la valeur absolue;
correction des exercices 48 du TD 5 et des exercices 1 et 4 du TD 6.

TD du lundi 13 décembre:

question flash sur le calcul de racines carrées;
correction des exercices 9, 10 et 13 du TD 6.

TD du vendredi 17 décembre:

question flash sur la résolution d'équations du second degré sur C;
correction des exercices 16 et 8 du TD 6.

Actividades: 0

TD MI 4

Actividades: 0

TD LDD STAPS-SPI

Horaires:

mercredi 8h30-10h15, salle 306, bâtiment 336.
vendredi 13h30-15h15, salle 142, bâtiment 336.

contacter: manh-linh.nguyen@universite-paris.saclay.fr, nmlinh.at@gmail.com

Les corrigés du TD1 (séances de 15/9, 17/9, 22/9 et 24/9) sont mis dans un seul fichier pdf.

Les corrigés du TD2 (séances de 29/9, 1/10, 6/10 et 8/10) sont mis dans un seul fichier pdf.

Les corrigés du TD3 (séances de 13/10 et 15/10) sont mis dans un seul fichier pdf.

Les corrigés du TD4 (séances de 20/10, 22/10, 27/10 et 12/11) sont mis dans un seul fichier pdf.

Les corrigés du TD5 (séances de 17/11, 19/11, 24/11, 26/11, 1/12, 3/12 et 8/12) sont mis dans un seul fichier pdf.

Les corrigés du TD6 (séances de 10/12, 15/12 et 16/12) sont mis dans un seul fichier pdf.

Séance du jeudi 16/12:

On a résolu une question flash sur les équations quadratiques à coéfficients dans C.
On va corrigé les exercices 13 et 16 du TD6.

Séance du mercredi 15/12:

On a résolu une question flash sur les racines carrées des nombres complexes.
On a corrigé l'exercice 47 (questions 3) du TD5 et les exercices 9, 10 du TD6.

Séance du vendredi 10/12:

On a résolu une question flash sur les (in)équations avec la valeur absolue.
On a corrigé l'exercice 47 (questions 1) du TD5 et les exercices 1, 4 du TD6.

Séance du mecredi 8/12:

On a résolu une question flash sur les inéquations.
On a corrigé les exercices 42, 44, 45 du TD5.

Séance du vendredi 3/12:

On a résolu une question flash sur le calcul de dérivées.
On a corrigé les exercices 37 (question 4), 38, 39 et 40 du TD5.

Séance du mercredi 1/12:

On a résolu une question flash sur le calcul de limites.
On a corrigé les exercices 28, 29, 31 et 37 (question 1) du TD5.

Séance du vendredi 26/11:

On a résolu une question flash sur le calcul de dérivée (règle de quotients et de fonctions composés).
On a corrigé les exercices 19 (questions 1, 2), 20, 22, 24 et 25 du TD5.

Séance du mercredi 24/11:

On a résolu une question flash sur le calcul de dérivée.
On a corrigé les exercices 14, 17 et 18 (question 2) du TD5.
Devoirs: Exercice 19 (questions 1, 2) du TD5. Indication pour question 2: sin(pi*x) = sin(pi*x - 3*pi).

Séance du vendredi 19/11:

On a résolu une question flash sur le tableau de variation d'une fonction.
On a corrigé les exercices 8 (question 4), 9, 10, 11 du TD5.

Séance du mercredi 17/11:

On a résolu une question flash sur le théorème de valeurs intermédiaires.
On a corrigé les exercices 5, 6, 7 et 8 (question 1, 2, 3) du TD5.
Devoirs: Exercice 8 (question 4). Indication: Considérer la fonction qui à x associe x^3+1 et celle qui à x associe -x.

Séance du vendredi 12/11:

On a résolu une question flash sur les limites directionnelles.
On a corrigé l'exercice 22 et la question 4 de l'exercice 23 du TD4.
On a corrigé les exercices 1, 3 et 4 du TD5.

Séance du mercredi 27/10:

On a résolu une question flash sur les limites des fonctions par encadrement.
On a corrigé faire les exercices 14, 17, 19 et 23 (question 1) du TD4.

Séance du vendredi 22/10:

On a résolu une question flash sur les fonctions paires et impaires.
On a corrigé les exercices 9 (questions 5, 6), 10, 13 du TD 4.

Séance du mercredi 20/10

On a résolu une question flash sur l'image et l'image réciproque de la fonction carré.
On a corrigé les exercices 3, 5, 6, 9 (questions 1,2,3,4) du TD 4.
Devoirs: Questions 5, 6 de l'exercice 9 du TD4.

Séance du vendredi 15/10:

On a résolu une question flash sur les suites géométriques.
On a corrigé les exercices 3, 11, 12 du TD3.
On a corrigé l'exerice 2 du TD4
Devoirs: Exercices 3 du TD4.

Séance du mercredi 13/10:

On a résolu une question flash sur les suites arithmétiques.
On a corrigé les exercices 1, 4, 6, 9, 10 du TD3.

Séance du vendredi 8/10:

On a résolu une question flash sur le calcul de limites.
On a corrigé les exercices 15, 19, 22 et la question 2 de l'exercice 20 du TD 2.
Devoirs: Exercices 4 du TD3.

Séance du mercredi 6/10:

On a résolu une question flash sur le calcul de limites.
On a corrigé les exercices 16 et 17 du TD 2.
Devoirs: Exercices 19 (z1 et z2) du TD2.

Séance du vendredi 1/10:

On a résolu une question flash sur le sens de variation des suites.
On a corrigé les exercices 6, 8, 9, 14 et les questions 1 et 2 de l'exercice 16 du TD2.

Séance du mercredi 29/9:

On a résolu une question flash sur la factorisation de polynômes quadratiques (la méthode est soit en utilisant les égalités remarquables, soit en trouvant les solutions des polynômes).
On a corrigé les exercices 2a, 3, 4 et 20.1 du TD2.
Quelques questions bonus corrigées pendant la séance:

Donner la forme algébrique de i^77, i^99, i^(-57) et i^n pour tout entier relatif n (réponse: i^77 = i, i^99 = -i, i^(-57) = -i et i^n = 1 si n = 4k, k entier; i^n = i si n = 4k+1, k entier; i^n = -1 si n = 4k+2, k entier; i^n = -i si n = 4k+3, k entier).
Donner la forme algébrique de (1-2i)/(4+3i) (réponse: -2/25 - 11i/25).

devoirs: l'Exercice 6 de TD2.

Séance du vendredi 24/9:

on a résolu une question flash sur les équations quadratiques.
on a corrigé l'exo 22, 23, 26. 27 du TD1 (donc tous les exercices étoilées sont corrigées), ainsi que l'exo 1 du TD2.
devoirs: Question 1 de l'Exo 2 de TD 2. Indication: calculons (1+i)^2 et (1-i)^2, puis (1+i)^4 et (1-i)^4.

Séance du mercredi 22/9:

on a corrigé l'exo 14, 15, 17, 19, 21 du TD1.
devoirs: Question 1 de l'Exo 23 du TD1.

Séance du vendredi 17/9:

on a résolu une question flash sur le calcul de racines carrées.
on a corrigé l'exo 8, 10, 12 et les questions 1,3 de l'exo 13 du TD1.
devoirs: Exo 19 du TD1.

Séance du mecredi 15/9:

on a résolu une question flash sur le calcul de puissances.
on a corrigé l'exo 1, les questions 1, 2, 3, 4, 5, 9, 11 de l'exo 2, et les exos 3, 4, 5 du TD1.
devoirs: l'exo 8 du TD1.

Actividades: 6

Bibliographie

Vous trouverez dans cette section des liens vers différentes ressources qui sont à votre disposition pour approfondir ou tout simplement travailler de manière autonome sur les notions vues en cours.

Vous pouvez accéder grâce à la BU au livre suivant contenant toutes les mathématiques de la première année de licence: http://univ.scholarvox.com.proxy.scd.u-psud.fr/catalog/search/searchterm/Math%C3%A9matiques%20Toutenun%20pour%20la%20Licence%201?searchtype=title

Actividades: 0

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